本書簡介：
《數(shù)學(xué)與對稱》是“數(shù)學(xué)與人文叢書”的第十三輯，將繼續(xù)著力貫徹“讓數(shù)學(xué)成為國人文化的一部分”的宗旨，展示數(shù)學(xué)豐富多彩的方面。
對稱性是追蹤從古到今數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，也是解開浩渺幽遠(yuǎn)宇宙之謎的一把關(guān)鍵鑰匙。本專輯選登的幾篇文章，以通俗的語言介紹了：由柏拉圖、開普勒、牛頓和愛因斯坦先后創(chuàng)立的、不斷進(jìn)化的物理模型中所蘊涵的宇宙對稱不變性思想；伽羅瓦的生平與成就，他為研究代數(shù)方程的根式解而創(chuàng)立的群論成為刻畫對稱性的理想工具；克萊因的生平和成就，他首次提出把幾何空間的分類歸結(jié)為不同群作用下的不變性；諾特定理把物理量的守恒性與李群作用的不變性聯(lián)系起來，在此基礎(chǔ)上，外爾、楊振寧米爾斯創(chuàng)立了規(guī)范場論，它最后發(fā)展成為宇宙的一個標(biāo)準(zhǔn)模型。本專輯還包括兩篇專稿，分別是著名數(shù)學(xué)家丘成桐教授關(guān)于“數(shù)學(xué)與生活之決策”的演講和他談?wù)撆_灣數(shù)學(xué)發(fā)展的采訪記錄。
此外，書中還登載了數(shù)學(xué)家坂內(nèi)英一的自傳和安德魯格利森的傳記。
目錄：
專稿
1談數(shù)學(xué)與生活之決策（丘成桐）
13人物專訪——丘成桐教授（王金龍，林松山，張鎮(zhèn)華）
數(shù)學(xué)與對稱
35對稱的追求——從柏拉圖到牛頓（楊靜，夏伶莉）
44伽羅瓦與群論的創(chuàng)立（田廷彥）
5721世紀(jì)讀者眼中的伽羅瓦（HaroldM.Edwards，譯者：王濤，鄧碩）
77FelixKlein:他的生平和數(shù)學(xué)（季理真，譯者：趙振江，王麗萍）
105相對論促進(jìn)數(shù)學(xué)研究（HermannWeyl，譯者：林開亮）
115對稱性、規(guī)范場與諾貝爾物理學(xué)獎（王善平）
123統(tǒng)一、超弦、幾何（何楊輝）
數(shù)學(xué)人
130虞美人（丘成桐）
131一個數(shù)學(xué)人的感想（坂內(nèi)英一，譯者：吳耀琨，余敏）
142安德魯M.格利森1921—2008（上）（EthanD.Bolker組編，譯者：林磊）前言對稱性是追蹤從古到今數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，也是解開浩渺幽遠(yuǎn)宇宙之謎的一把關(guān)鍵鑰匙。
古希臘哲學(xué)家柏拉圖（Plato，公元前427—前347）在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中提出，宇宙是完美的，它由火、土、氣、水這四種元素整合而成；而這些元素又分別由四種完美的立體結(jié)構(gòu)——正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體——產(chǎn)生；另一個完美立體結(jié)構(gòu)——正十二面體——則被用作整體（動物體）的模型。這五種正多面體后來被稱為“柏拉圖多面體”，它們是三維空間中唯一存在的正多面體結(jié)構(gòu)。
大約兩千年以后，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開普勒（J.Kepler，1571—1630）為了證實其“上帝用幾何學(xué)設(shè)計宇宙”的信念，花了半生的精力和時間，試圖用柏拉圖多面體建立起行星環(huán)繞太陽運行的圓形軌道模型。后來通過整理丹麥天文學(xué)家第谷（TychoBrahe，1546—1601）留下的大量天文觀測資料，開普勒才認(rèn)識到，行星的運行軌道是橢圓而非正圓，并總結(jié)了著名的“行星運動三定律”。在此基礎(chǔ)上，英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓（I.Newton，1643—1727）終于發(fā)現(xiàn)了萬有引力和物體運動的三定律。
從表面上看，由開普勒發(fā)現(xiàn)并且能從牛頓運動定律推出的行星橢圓運行軌道似乎破壞了柏拉圖所信奉的宇宙完美對稱性。但借助于“群論”這一強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，我們終對稱性是追蹤從古到今數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，也是解開浩渺幽遠(yuǎn)宇宙之謎的一把關(guān)鍵鑰匙。
古希臘哲學(xué)家柏拉圖（Plato，公元前427—前347）在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中提出，宇宙是完美的，它由火、土、氣、水這四種元素整合而成；而這些元素又分別由四種完美的立體結(jié)構(gòu)——正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體——產(chǎn)生；另一個完美立體結(jié)構(gòu)——正十二面體——則被用作整體（動物體）的模型。這五種正多面體后來被稱為“柏拉圖多面體”，它們是三維空間中唯一存在的正多面體結(jié)構(gòu)。
大約兩千年以后，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開普勒（J.Kepler，1571—1630）為了證實其“上帝用幾何學(xué)設(shè)計宇宙”的信念，花了半生的精力和時間，試圖用柏拉圖多面體建立起行星環(huán)繞太陽運行的圓形軌道模型。后來通過整理丹麥天文學(xué)家第谷（TychoBrahe，1546—1601）留下的大量天文觀測資料，開普勒才認(rèn)識到，行星的運行軌道是橢圓而非正圓，并總結(jié)了著名的“行星運動三定律”。在此基礎(chǔ)上，英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓（I.Newton，1643—1727）終于發(fā)現(xiàn)了萬有引力和物體運動的三定律。
從表面上看，由開普勒發(fā)現(xiàn)并且能從牛頓運動定律推出的行星橢圓運行軌道似乎破壞了柏拉圖所信奉的宇宙完美對稱性。但借助于“群論”這一強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，我們終究知道：柏拉圖多面體是在若干空間旋轉(zhuǎn)群作用下保持不變的對稱物體結(jié)構(gòu)；而表示牛頓定律的微分方程在空間勻速平移群作用下保持不變。因此，牛頓定律反映了宇宙的物理性質(zhì)在更深層次上的完美對稱性。從這一點上講，開普勒和牛頓依然繼承了柏拉圖的理念。
群論是19世紀(jì)年輕的法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（.Galois，1811—1832）為解決代數(shù)方程的根式可解性問題而創(chuàng)立的。也許當(dāng)時已經(jīng)有人預(yù)見，伽羅瓦的工作將開啟數(shù)學(xué)發(fā)展的新時代；但是肯定沒人料到，群論作為刻畫事物對稱性質(zhì)最理想的工具，將幫助人類揭示從晶體形狀到時空結(jié)構(gòu)多少宇宙奧秘！
1872年，年僅23歲的德國數(shù)學(xué)家克萊因（C.F.Klein，1849—1925）發(fā)表了著名的“埃爾蘭根綱領(lǐng)”（ErlangenProgram）就職演說，首次提出根據(jù)不同的對稱變換群來區(qū)分不同的幾何空間。大約在同時，挪威數(shù)學(xué)家李（M.S.Lie，1842—1899）創(chuàng)立了連續(xù)對稱變換群理論，后被稱作“李群”。從此，對“群變換下保持對稱（不變）性”的關(guān)注，逐漸成為現(xiàn)代幾何和理論物理研究的主旋律。
英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋（J.C.Maxwell，1831—1879）在1865年發(fā)表的《電磁場的動力學(xué)理論》論文中，首次寫出了電磁場方程，其重要意義堪比牛頓力學(xué)方程。但是，麥克斯韋方程并不具有牛頓方程所具有的空間勻速平移變換下的對稱性。這反映了這樣一個物理現(xiàn)象：靜止的電荷只產(chǎn)生電場，勻速運動的電荷只產(chǎn)生磁場；而電荷究竟是靜止還是在勻速運動，實際上僅取決于觀察者相對于它的運動狀態(tài)。針對這種現(xiàn)象，年輕的愛因斯坦（A.Einstein，1879—1955）在1905年發(fā)表的《論動體的電動力學(xué)》論文中提出，電磁場方程應(yīng)該與力學(xué)方程具有相同的坐標(biāo)變換不變性；進(jìn)而假設(shè)：所有相對勻速運動的物理坐標(biāo)系都是等效的。他因此創(chuàng)立了狹義相對論，從中得出“物體質(zhì)量隨運動速度增加而增大”、“質(zhì)量和能量可相互轉(zhuǎn)換”以及“光速是極限速度”等看似完全違背人們的經(jīng)驗和直覺的結(jié)論。令人驚訝的是，這些結(jié)論后來竟都得到了實驗的證實。1915年，愛因斯坦又根據(jù)“所有相對加速運動的物理坐標(biāo)系也都是等效的”假設(shè)，創(chuàng)立了廣義相對論；其中關(guān)于“引力使空間彎曲”的不可思議結(jié)論，同樣得到了實際驗證。相對論的成功表明，宇宙所具有的完美對稱性，甚至超出了人們傳統(tǒng)的經(jīng)驗和想象力！
精彩的故事，還只是剛剛開始。
相對論的建立借助于黎曼幾何和李群等數(shù)學(xué)工具，同時反過來刺激了這些數(shù)學(xué)理論的迅速發(fā)展。不僅如此，許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家也被吸引到理論物理領(lǐng)域。德國著名女?dāng)?shù)學(xué)家諾特（A.E.Noether，1882—1935）在1915年證明的定理（后被稱為諾特定理），把物理系統(tǒng)的李群變換不變性（對稱性）與物理守恒定律聯(lián)系在一起。德國大數(shù)學(xué)家外爾（C.H.H.Weyl，1885—1955）經(jīng)過十年探索，終于成功地利用薛定諤方程在U(1)李群相位變換下的規(guī)范不變性，重建了電磁場理論；而根據(jù)諾特定理，這種規(guī)范不變性對應(yīng)于電荷守恒性。
1954年，年輕的華裔物理學(xué)家楊振寧（1922—）與美國人米爾斯（R.Mills，1927—1999）合作，創(chuàng)立了SU(2)規(guī)范場理論，試圖解釋質(zhì)子中子的同位旋守恒性。楊振寧米爾斯規(guī)范場論在開始時，曾陷于無法說明粒子質(zhì)量來源的困境。直到1964年，英國物理學(xué)家希格斯（P.Higgs，1929—）引入巧妙的機(jī)制，成功地使粒子獲得質(zhì)量。從此，各種規(guī)范場論迅速發(fā)展，成為解釋宇宙作用力的標(biāo)準(zhǔn)模型，其中：SU(2)U(1)規(guī)范場成功統(tǒng)一了弱力和電磁力作用；SU(3)規(guī)范場描述了強(qiáng)力作用。有十多位物理學(xué)家因此榮獲諾貝爾物理學(xué)獎。特別地，因為在1912年發(fā)現(xiàn)了“希格斯粒子”（又稱“上帝粒子”），完成了規(guī)范場標(biāo)準(zhǔn)模型中最后一塊拼圖，希格斯榮獲2013年的諾貝爾物理學(xué)獎。
目前，物理學(xué)家正在研究一個能夠包含引力的宇宙大統(tǒng)一理論——弦論，這其實是一個十維空間的規(guī)范場理論。我們正期待他們以及未來的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，續(xù)寫關(guān)于宇宙對稱性的更精彩的故事！
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