本書(shū)簡(jiǎn)介：
《數(shù)學(xué)與對(duì)稱(chēng)》是“數(shù)學(xué)與人文叢書(shū)”的第十三輯，將繼續(xù)著力貫徹“讓數(shù)學(xué)成為國(guó)人文化的一部分”的宗旨，展示數(shù)學(xué)豐富多彩的方面。
對(duì)稱(chēng)性是追蹤從古到今數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，也是解開(kāi)浩渺幽遠(yuǎn)宇宙之謎的一把關(guān)鍵鑰匙。本專(zhuān)輯選登的幾篇文章，以通俗的語(yǔ)言介紹了：由柏拉圖、開(kāi)普勒、牛頓和愛(ài)因斯坦先后創(chuàng)立的、不斷進(jìn)化的物理模型中所蘊(yùn)涵的宇宙對(duì)稱(chēng)不變性思想；伽羅瓦的生平與成就，他為研究代數(shù)方程的根式解而創(chuàng)立的群論成為刻畫(huà)對(duì)稱(chēng)性的理想工具；克萊因的生平和成就，他首次提出把幾何空間的分類(lèi)歸結(jié)為不同群作用下的不變性；諾特定理把物理量的守恒性與李群作用的不變性聯(lián)系起來(lái)，在此基礎(chǔ)上，外爾、楊振寧米爾斯創(chuàng)立了規(guī)范場(chǎng)論，它最后發(fā)展成為宇宙的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型。本專(zhuān)輯還包括兩篇專(zhuān)稿，分別是著名數(shù)學(xué)家丘成桐教授關(guān)于“數(shù)學(xué)與生活之決策”的演講和他談?wù)撆_(tái)灣數(shù)學(xué)發(fā)展的采訪記錄。
此外，書(shū)中還登載了數(shù)學(xué)家坂內(nèi)英一的自傳和安德魯格利森的傳記。
目錄：
專(zhuān)稿
1談數(shù)學(xué)與生活之決策（丘成桐）
13人物專(zhuān)訪——丘成桐教授（王金龍，林松山，張鎮(zhèn)華）
數(shù)學(xué)與對(duì)稱(chēng)
35對(duì)稱(chēng)的追求——從柏拉圖到牛頓（楊靜，夏伶莉）
44伽羅瓦與群論的創(chuàng)立（田廷彥）
5721世紀(jì)讀者眼中的伽羅瓦（HaroldM.Edwards，譯者：王濤，鄧碩）
77FelixKlein:他的生平和數(shù)學(xué)（季理真，譯者：趙振江，王麗萍）
105相對(duì)論促進(jìn)數(shù)學(xué)研究（HermannWeyl，譯者：林開(kāi)亮）
115對(duì)稱(chēng)性、規(guī)范場(chǎng)與諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)（王善平）
123統(tǒng)一、超弦、幾何（何楊輝）
數(shù)學(xué)人
130虞美人（丘成桐）
131一個(gè)數(shù)學(xué)人的感想（坂內(nèi)英一，譯者：吳耀琨，余敏）
142安德魯M.格利森1921—2008（上）（EthanD.Bolker組編，譯者：林磊）前言對(duì)稱(chēng)性是追蹤從古到今數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，也是解開(kāi)浩渺幽遠(yuǎn)宇宙之謎的一把關(guān)鍵鑰匙。
古希臘哲學(xué)家柏拉圖（Plato，公元前427—前347）在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中提出，宇宙是完美的，它由火、土、氣、水這四種元素整合而成；而這些元素又分別由四種完美的立體結(jié)構(gòu)——正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體——產(chǎn)生；另一個(gè)完美立體結(jié)構(gòu)——正十二面體——?jiǎng)t被用作整體（動(dòng)物體）的模型。這五種正多面體后來(lái)被稱(chēng)為“柏拉圖多面體”，它們是三維空間中唯一存在的正多面體結(jié)構(gòu)。
大約兩千年以后，德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開(kāi)普勒（J.Kepler，1571—1630）為了證實(shí)其“上帝用幾何學(xué)設(shè)計(jì)宇宙”的信念，花了半生的精力和時(shí)間，試圖用柏拉圖多面體建立起行星環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的圓形軌道模型。后來(lái)通過(guò)整理丹麥天文學(xué)家第谷（TychoBrahe，1546—1601）留下的大量天文觀測(cè)資料，開(kāi)普勒才認(rèn)識(shí)到，行星的運(yùn)行軌道是橢圓而非正圓，并總結(jié)了著名的“行星運(yùn)動(dòng)三定律”。在此基礎(chǔ)上，英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓（I.Newton，1643—1727）終于發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力和物體運(yùn)動(dòng)的三定律。
從表面上看，由開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)并且能從牛頓運(yùn)動(dòng)定律推出的行星橢圓運(yùn)行軌道似乎破壞了柏拉圖所信奉的宇宙完美對(duì)稱(chēng)性。但借助于“群論”這一強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，我們終對(duì)稱(chēng)性是追蹤從古到今數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，也是解開(kāi)浩渺幽遠(yuǎn)宇宙之謎的一把關(guān)鍵鑰匙。
古希臘哲學(xué)家柏拉圖（Plato，公元前427—前347）在《蒂邁歐篇》（Timaeus）中提出，宇宙是完美的，它由火、土、氣、水這四種元素整合而成；而這些元素又分別由四種完美的立體結(jié)構(gòu)——正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體——產(chǎn)生；另一個(gè)完美立體結(jié)構(gòu)——正十二面體——?jiǎng)t被用作整體（動(dòng)物體）的模型。這五種正多面體后來(lái)被稱(chēng)為“柏拉圖多面體”，它們是三維空間中唯一存在的正多面體結(jié)構(gòu)。
大約兩千年以后，德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開(kāi)普勒（J.Kepler，1571—1630）為了證實(shí)其“上帝用幾何學(xué)設(shè)計(jì)宇宙”的信念，花了半生的精力和時(shí)間，試圖用柏拉圖多面體建立起行星環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的圓形軌道模型。后來(lái)通過(guò)整理丹麥天文學(xué)家第谷（TychoBrahe，1546—1601）留下的大量天文觀測(cè)資料，開(kāi)普勒才認(rèn)識(shí)到，行星的運(yùn)行軌道是橢圓而非正圓，并總結(jié)了著名的“行星運(yùn)動(dòng)三定律”。在此基礎(chǔ)上，英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓（I.Newton，1643—1727）終于發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力和物體運(yùn)動(dòng)的三定律。
從表面上看，由開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)并且能從牛頓運(yùn)動(dòng)定律推出的行星橢圓運(yùn)行軌道似乎破壞了柏拉圖所信奉的宇宙完美對(duì)稱(chēng)性。但借助于“群論”這一強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，我們終究知道：柏拉圖多面體是在若干空間旋轉(zhuǎn)群作用下保持不變的對(duì)稱(chēng)物體結(jié)構(gòu)；而表示牛頓定律的微分方程在空間勻速平移群作用下保持不變。因此，牛頓定律反映了宇宙的物理性質(zhì)在更深層次上的完美對(duì)稱(chēng)性。從這一點(diǎn)上講，開(kāi)普勒和牛頓依然繼承了柏拉圖的理念。
群論是19世紀(jì)年輕的法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（.Galois，1811—1832）為解決代數(shù)方程的根式可解性問(wèn)題而創(chuàng)立的。也許當(dāng)時(shí)已經(jīng)有人預(yù)見(jiàn)，伽羅瓦的工作將開(kāi)啟數(shù)學(xué)發(fā)展的新時(shí)代；但是肯定沒(méi)人料到，群論作為刻畫(huà)事物對(duì)稱(chēng)性質(zhì)最理想的工具，將幫助人類(lèi)揭示從晶體形狀到時(shí)空結(jié)構(gòu)多少宇宙奧秘！
1872年，年僅23歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（C.F.Klein，1849—1925）發(fā)表了著名的“埃爾蘭根綱領(lǐng)”（ErlangenProgram）就職演說(shuō)，首次提出根據(jù)不同的對(duì)稱(chēng)變換群來(lái)區(qū)分不同的幾何空間。大約在同時(shí)，挪威數(shù)學(xué)家李（M.S.Lie，1842—1899）創(chuàng)立了連續(xù)對(duì)稱(chēng)變換群理論，后被稱(chēng)作“李群”。從此，對(duì)“群變換下保持對(duì)稱(chēng)（不變）性”的關(guān)注，逐漸成為現(xiàn)代幾何和理論物理研究的主旋律。
英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋（J.C.Maxwell，1831—1879）在1865年發(fā)表的《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》論文中，首次寫(xiě)出了電磁場(chǎng)方程，其重要意義堪比牛頓力學(xué)方程。但是，麥克斯韋方程并不具有牛頓方程所具有的空間勻速平移變換下的對(duì)稱(chēng)性。這反映了這樣一個(gè)物理現(xiàn)象：靜止的電荷只產(chǎn)生電場(chǎng)，勻速運(yùn)動(dòng)的電荷只產(chǎn)生磁場(chǎng)；而電荷究竟是靜止還是在勻速運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上僅取決于觀察者相對(duì)于它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。針對(duì)這種現(xiàn)象，年輕的愛(ài)因斯坦（A.Einstein，1879—1955）在1905年發(fā)表的《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》論文中提出，電磁場(chǎng)方程應(yīng)該與力學(xué)方程具有相同的坐標(biāo)變換不變性；進(jìn)而假設(shè)：所有相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的物理坐標(biāo)系都是等效的。他因此創(chuàng)立了狹義相對(duì)論，從中得出“物體質(zhì)量隨運(yùn)動(dòng)速度增加而增大”、“質(zhì)量和能量可相互轉(zhuǎn)換”以及“光速是極限速度”等看似完全違背人們的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的結(jié)論。令人驚訝的是，這些結(jié)論后來(lái)竟都得到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。1915年，愛(ài)因斯坦又根據(jù)“所有相對(duì)加速運(yùn)動(dòng)的物理坐標(biāo)系也都是等效的”假設(shè)，創(chuàng)立了廣義相對(duì)論；其中關(guān)于“引力使空間彎曲”的不可思議結(jié)論，同樣得到了實(shí)際驗(yàn)證。相對(duì)論的成功表明，宇宙所具有的完美對(duì)稱(chēng)性，甚至超出了人們傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)和想象力！
精彩的故事，還只是剛剛開(kāi)始。
相對(duì)論的建立借助于黎曼幾何和李群等數(shù)學(xué)工具，同時(shí)反過(guò)來(lái)刺激了這些數(shù)學(xué)理論的迅速發(fā)展。不僅如此，許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家也被吸引到理論物理領(lǐng)域。德國(guó)著名女?dāng)?shù)學(xué)家諾特（A.E.Noether，1882—1935）在1915年證明的定理（后被稱(chēng)為諾特定理），把物理系統(tǒng)的李群變換不變性（對(duì)稱(chēng)性）與物理守恒定律聯(lián)系在一起。德國(guó)大數(shù)學(xué)家外爾（C.H.H.Weyl，1885—1955）經(jīng)過(guò)十年探索，終于成功地利用薛定諤方程在U(1)李群相位變換下的規(guī)范不變性，重建了電磁場(chǎng)理論；而根據(jù)諾特定理，這種規(guī)范不變性對(duì)應(yīng)于電荷守恒性。
1954年，年輕的華裔物理學(xué)家楊振寧（1922—）與美國(guó)人米爾斯（R.Mills，1927—1999）合作，創(chuàng)立了SU(2)規(guī)范場(chǎng)理論，試圖解釋質(zhì)子中子的同位旋守恒性。楊振寧米爾斯規(guī)范場(chǎng)論在開(kāi)始時(shí)，曾陷于無(wú)法說(shuō)明粒子質(zhì)量來(lái)源的困境。直到1964年，英國(guó)物理學(xué)家希格斯（P.Higgs，1929—）引入巧妙的機(jī)制，成功地使粒子獲得質(zhì)量。從此，各種規(guī)范場(chǎng)論迅速發(fā)展，成為解釋宇宙作用力的標(biāo)準(zhǔn)模型，其中：SU(2)U(1)規(guī)范場(chǎng)成功統(tǒng)一了弱力和電磁力作用；SU(3)規(guī)范場(chǎng)描述了強(qiáng)力作用。有十多位物理學(xué)家因此榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。特別地，因?yàn)樵?912年發(fā)現(xiàn)了“希格斯粒子”（又稱(chēng)“上帝粒子”），完成了規(guī)范場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)模型中最后一塊拼圖，希格斯榮獲2013年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。
目前，物理學(xué)家正在研究一個(gè)能夠包含引力的宇宙大統(tǒng)一理論——弦論，這其實(shí)是一個(gè)十維空間的規(guī)范場(chǎng)理論。我們正期待他們以及未來(lái)的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，續(xù)寫(xiě)關(guān)于宇宙對(duì)稱(chēng)性的更精彩的故事！
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