本書講述了史前時(shí)期到我們所在的電子時(shí)代的數(shù)學(xué)歷史。不同于枯燥的數(shù)字、符號(hào)和公式，這是一本關(guān)于人與文化，信念與目標(biāo)，希望和夢(mèng)想的關(guān)系的探索歷程，從畢達(dá)哥拉斯定理到大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)，26個(gè)世紀(jì)以來(lái)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域涌現(xiàn)了許許多多關(guān)鍵人物、著名理論和優(yōu)美邏輯，本書向你展示這些歷史上的數(shù)學(xué)大發(fā)現(xiàn)與大發(fā)展如何改變了我們看世界的方法。本書涉及了以下有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)然這只是其中的幾個(gè)問(wèn)題：
古人怎樣數(shù)綿羊：早期的牧羊人，用一塊卵石代表一只綿羊，每數(shù)一只綿羊，拿走一塊卵石，最后袋子里剩下的幾塊卵石，就代表有幾只綿羊走失了。
瑪雅人的日歷為什么只到2012年：二十進(jìn)制法，瑪雅日歷，世界末日說(shuō)法。
柏拉圖是哲學(xué)家也是數(shù)學(xué)家：柏拉圖立方體，黃金比例，等等。
丟番圖年紀(jì)之謎：他1/6的年齡為童年，1/2的生命為青年……他兒子在他年紀(jì)的一半時(shí)離開(kāi)人世，他又用了4年的時(shí)間研究代數(shù)，隨后生命終止。你能算出他去世時(shí)的年齡嗎？
柯尼斯堡七橋問(wèn)題：七座橋在不同的地點(diǎn)連接島嶼的兩岸，怎樣才能把每座橋都走一遍，而同一座橋不會(huì)走兩次。
完美公式：一條熠熠生輝的等式：eiπ+1=0它在數(shù)學(xué)上的美體現(xiàn)在它用到了五個(gè)數(shù)學(xué)上最重要的數(shù)——e、i、π、1、0。
因同性戀而屈辱自殺的圖靈：他破譯了恩尼格瑪密碼機(jī)，他發(fā)明了智能機(jī)器“圖靈機(jī)”，他是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)理論之父，他以一只毒蘋果結(jié)束自己41歲的生命。
Google名字的由來(lái)：當(dāng)美國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華?卡斯納要為一個(gè)大數(shù)創(chuàng)造一個(gè)新的單詞時(shí)，他的小外甥向他提議google這個(gè)詞，表示1后面緊接著100個(gè)0，后來(lái)又演化為，表示不需要達(dá)到無(wú)窮就可以擁有這么大的數(shù)。
作者簡(jiǎn)介：
克里斯·韋林（ChrisWaring）：英國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)老師，曾出版《我應(yīng)該知道的數(shù)學(xué)知識(shí)》（IUusedtoKnowThat:Maths）。他的作品生動(dòng)簡(jiǎn)潔，由淺入深，深受讀者喜愛(ài)。本書是他的又一部廣受歡迎的作品，揭示了數(shù)學(xué)背后那些鮮為人知的故事。
目錄：
前言
史前的數(shù)學(xué)
早期文明的數(shù)學(xué)
古希臘的數(shù)學(xué)
羅馬的數(shù)學(xué)
東方的數(shù)學(xué)
中世紀(jì)時(shí)期的歐洲
文藝復(fù)興之后
數(shù)字時(shí)代
現(xiàn)代數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)的未來(lái)
參考文獻(xiàn)
索引前言
世間萬(wàn)物都離不開(kāi)數(shù)學(xué)。這一學(xué)科內(nèi)涵豐富，延伸出多個(gè)分支。因此，任何的事情，從宇宙大爆炸到如何增加自己在游戲節(jié)目中獲勝的概率，我們都可以利用它來(lái)解析。數(shù)學(xué)在日常生活中也發(fā)揮著不可或缺的作用。你可能正在從事一份技術(shù)性的工作，而工作期間你需要經(jīng)常進(jìn)行大量復(fù)雜的數(shù)字運(yùn)算，又或許僅當(dāng)你要記賬或者比較網(wǎng)上的特價(jià)優(yōu)惠時(shí)才需要進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。
從小時(shí)候開(kāi)始我們就被反復(fù)灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)。大概到了十六歲的時(shí)候，你很可能已經(jīng)接受過(guò)一定程度的數(shù)學(xué)教育。你會(huì)學(xué)習(xí)過(guò)算術(shù)——怎樣去進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算；幾何，它能幫助我們理解形狀和空間；還有代數(shù)，憑此我們不需要反復(fù)試驗(yàn)就能夠解決問(wèn)題。
越來(lái)越多的人因?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)而取得學(xué)位，或者取得更高的成就，而你也許會(huì)成為當(dāng)中的一員。在這種情況下，你會(huì)熟悉微積分、復(fù)數(shù)、力學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、決策數(shù)學(xué)或者種種可能存在的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
無(wú)論你目前達(dá)到哪種數(shù)學(xué)水平，你也不太可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)很多數(shù)學(xué)背后的故事。誰(shuí)決定我們采用十進(jìn)制的呢？為什么一個(gè)圓周是360度呢？又是誰(shuí)發(fā)明了代數(shù)呢？數(shù)學(xué)的每一方面，從我們采用的數(shù)字到當(dāng)代數(shù)學(xué)家用來(lái)處理未解大難題的方法，都是幾千年來(lái)人類努力的成果，而人類的這番努力在全世界的數(shù)學(xué)課堂以及數(shù)學(xué)課本上都很少被提及。
我們這本書從最早期的人類文明開(kāi)始一直介紹到現(xiàn)代，講述了引人入勝的數(shù)學(xué)史。這是一部人類及其文明、信仰和目標(biāo)的編年史。為什么瑪雅人的歷法到2012年便結(jié)束了呢？為什么歷史上沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)哪位顯著的羅馬數(shù)學(xué)家卻有那么多古希臘的數(shù)學(xué)家呢？從什么時(shí)候開(kāi)始科學(xué)家利用數(shù)學(xué)去開(kāi)發(fā)理論呢？
我希望你會(huì)覺(jué)得接下來(lái)的故事有趣、動(dòng)人，具娛樂(lè)性。我也希望這本書會(huì)令你對(duì)數(shù)學(xué)以及那些促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展為如今這樣一門奇妙的學(xué)科的人產(chǎn)生新的敬意。
阿蘭圖靈
�。�1912—1954年）
圖靈是英國(guó)卓越的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。廣為人知的是，在第二次世界大戰(zhàn)期間，他幫助盟軍破譯了納粹的密碼機(jī)恩尼格瑪。
有內(nèi)存的機(jī)器
在第一次世界大戰(zhàn)之前，圖靈是劍橋的一名數(shù)學(xué)研究員。他從事于判定問(wèn)題的研究。判定問(wèn)題是大衛(wèi)?希爾伯特（見(jiàn)書217頁(yè)）所提出的一個(gè)挑戰(zhàn)，說(shuō)的是能否把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一個(gè)算法，該算法可以產(chǎn)生一個(gè)“為真”或者“為假”的答案，而答案是無(wú)需證明的。通過(guò)引入理想化計(jì)算機(jī)圖靈機(jī)的概念，圖靈表明那是不可能的。
圖靈機(jī)是一臺(tái)擁有無(wú)限內(nèi)存可以填塞無(wú)限多數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)。機(jī)器可以根據(jù)一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)則對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修改。圖靈指出，對(duì)于判定問(wèn)題，究竟圖靈機(jī)可以求出一個(gè)答案還是只會(huì)永恒地運(yùn)作下去，都是不可知的。
還處在理論層面的圖靈機(jī)對(duì)建立計(jì)算機(jī)科學(xué)意義重大。圖靈在計(jì)算方面的研究讓他得以在美國(guó)的普林斯頓大學(xué)繼續(xù)深造，在那里他取得了數(shù)學(xué)博士學(xué)位。圖靈利用布爾邏輯（見(jiàn)書167頁(yè)）制造了其中一部最早期的電子計(jì)算機(jī)，這是面向現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的重要進(jìn)展。
破解密碼
圖靈是密碼學(xué)校中的一員。密碼學(xué)校成立于二戰(zhàn)期間，位于英國(guó)米爾頓凱恩斯的布萊切利公園，圖靈在那里著手于恩尼格瑪密碼機(jī)的破譯工作。圖靈設(shè)計(jì)出一臺(tái)稱為邦貝的機(jī)電機(jī)，用這臺(tái)機(jī)器枚舉恩尼格瑪密碼設(shè)定的速度比密碼專家用人工的方法去做要快很多。邦貝依賴于這樣一個(gè)事實(shí)，恩尼格瑪不會(huì)把一個(gè)字母加密成它本身——如果你把字母“q”輸進(jìn)恩尼格瑪，機(jī)器不會(huì)輸出“q”。邦貝會(huì)窮舉所有的設(shè)定，當(dāng)輸出的字母與輸入的字母相同時(shí)，這種設(shè)定就要被排除，進(jìn)而模擬下一種設(shè)定。第二個(gè)竅門就是作試探：憑經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)，比如，猜想被截信息的第一個(gè)單詞可能是什么。
圖靈和其他人在布萊切利公園所做的工作對(duì)于盟軍有重大意義，無(wú)疑地，也縮短了戰(zhàn)爭(zhēng)。然而，這些工作是高度機(jī)密，也因此沒(méi)什么人了解圖靈做出的努力。
人類對(duì)機(jī)器
戰(zhàn)后，圖靈繼續(xù)自己在電子計(jì)算機(jī)方面的工作，著手研究人工智能——一臺(tái)足夠強(qiáng)大足夠快的計(jì)算機(jī)能否擁有智能。在研究中，圖靈設(shè)計(jì)出圖靈測(cè)試。測(cè)試規(guī)定，如果一個(gè)人類與計(jì)算機(jī)交流時(shí)沒(méi)有察覺(jué)出對(duì)方不是一個(gè)人類，那么計(jì)算機(jī)就被認(rèn)為是擁有智能。圖靈在計(jì)算機(jī)方面的研究為我們現(xiàn)在享受（也被視為理所當(dāng)然）的數(shù)字革命奠定了基礎(chǔ)。例如，我用來(lái)寫書的這臺(tái)計(jì)算機(jī)，也是起源于圖靈機(jī)。
進(jìn)入混沌
1952年，圖靈從事生物學(xué)方面的研究。在生物體中，有一個(gè)時(shí)期，細(xì)胞會(huì)從相互之間非常相似變到相互之間非常不同。比如，在胚胎發(fā)育時(shí)期，一組相同的干細(xì)跑會(huì)發(fā)育成身體各種器官細(xì)胞。圖靈表示，這個(gè)稱為形態(tài)發(fā)生的時(shí)期，只是有著簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，盡管如此，細(xì)胞還是能夠發(fā)育成復(fù)雜的動(dòng)物。這個(gè)想法領(lǐng)先那個(gè)時(shí)代太多了，人們的思維也跟不上，圖靈在這方面的研究全都白費(fèi)了。然而，在圖靈去世很多年以后，他在形態(tài)發(fā)生方面所做的工作被認(rèn)為是初露了混沌數(shù)學(xué)的端倪。
不幸的是，1952年，圖靈因?yàn)橥詰傩袨楸慌袊?yán)重猥褻罪。在那時(shí)候，同性戀是不合法的。在服刑與注射雌激素之間，圖靈選擇了后者。注射所帶來(lái)的可怕副作用使圖靈非常沮喪，在1954年，他因氰化物中毒而死。在41歲時(shí)，圖靈，現(xiàn)代計(jì)算理論的奠基者，無(wú)名的戰(zhàn)爭(zhēng)英雄，去世了，而他很可能是自殺而死的。我們只能沉思，要是他沒(méi)有以這種悲劇的方式過(guò)早離世，他還能為人類帶來(lái)什么新的發(fā)現(xiàn)。
圖論問(wèn)題
計(jì)算機(jī)沒(méi)有立即被數(shù)學(xué)家們采用，因?yàn)楹芏嗯u(píng)者認(rèn)為求解問(wèn)題時(shí)需要規(guī)范地寫上一段優(yōu)雅的證明，而不是僅僅通過(guò)數(shù)字搗弄來(lái)得出結(jié)果。其中一個(gè)最先在計(jì)算機(jī)的幫助下證明的猜想叫做四色定理。
在19世紀(jì)，南非數(shù)學(xué)家弗朗西斯格思里（1831—1899年）繪制英格蘭的地圖時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以用四種顏色為地圖著色，而每一個(gè)郡的顏色都由相鄰郡的顏色決定。格思里把這定為四色猜想，更正式地說(shuō)，就是在一個(gè)二維的平面地圖上，相互接壤的地區(qū)不能著上同一種顏色，最多只需要四種顏色就能把地圖著完色。需要注意的是，相交于一點(diǎn)的地區(qū)不算是接壤，因此它們可以著上同一種顏色。并且，地圖上的每一個(gè)國(guó)家都是獨(dú)立的，所以它們可以著上任何規(guī)定的顏色（不像俄羅斯境內(nèi)老柯尼斯堡的所在地）。
π的一部分
每一個(gè)學(xué)童都知道，π是一個(gè)特殊的數(shù)，是由圓周（圓的周長(zhǎng)）除以圓的直徑（通過(guò)圓心連接圓上兩點(diǎn)的距離）而得到的。因?yàn)樗袌A在數(shù)學(xué)上都是相似的（大小成比例），無(wú)論圓大小如何，你總能得到相同的π值。
數(shù)學(xué)家一直對(duì)π感到著迷。它是一個(gè)無(wú)理數(shù)（見(jiàn)書43頁(yè)），而數(shù)學(xué)上它也是一個(gè)非常有用的常數(shù)，它不僅在有關(guān)圓的問(wèn)題上出現(xiàn)，而且還出現(xiàn)在幾何和微積分的問(wèn)題上�？v觀整個(gè)數(shù)學(xué)史，我們看到人們嘗試算出π，嘗試提高它的精度（見(jiàn)183頁(yè)方框部分）。我的計(jì)算器顯示：
π=3.141592654
自從機(jī)械計(jì)算機(jī)和電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，快速精確地進(jìn)行必要運(yùn)算的能力已經(jīng)成倍地提升。在1980年代，來(lái)自美國(guó)的楚德諾夫斯基兄弟用自制的超級(jí)計(jì)算機(jī)首先把π精確到小數(shù)點(diǎn)后十億位。目前的記錄是由日本數(shù)學(xué)家金田康正創(chuàng)下的，他在2010年把π精確到小數(shù)點(diǎn)后2.7萬(wàn)億位（2700000000000）。
計(jì)算π
多個(gè)世紀(jì)以來(lái)，π是這樣計(jì)算出來(lái)的：
公元前1900年，希臘數(shù)學(xué)家計(jì)算出的值是256/81=3.1605。
古巴比倫人算出一個(gè)更接近的值25/8=3.125。
從《圣經(jīng)》中我們可以推出一個(gè)約等于3的值。
我們看到阿基米德把π的值定在3.1408和3.1429之間，他也給出一個(gè)經(jīng)常被學(xué)校采用的近似值22/7。
公元15世紀(jì)中國(guó)的祖沖之算出355/113=3.1415929。
公元1400年印度數(shù)學(xué)家摩陀婆算出3.1415926539。
1706年英格蘭天文學(xué)教授約翰馬契把π精確到小數(shù)點(diǎn)后100位。
瑞士數(shù)學(xué)家約翰朗伯在1768年證明了π是無(wú)理數(shù)。
進(jìn)入未知
混沌理論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，探討的是不可預(yù)知的行為。雖然在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后這個(gè)領(lǐng)域才真正出現(xiàn)，但在牛頓的年代混沌方程就首次被人注意到了。
牛頓工作的主要目標(biāo)之一就是要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)可以解析天體運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)。如我們所知，行星幾乎按照近乎圓形的軌道圍繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)。然而，宇航員注意到，行星的軌道偶爾有輕微的擺動(dòng)，而擺動(dòng)明顯是隨機(jī)的。
萊昂哈德歐拉（見(jiàn)書142頁(yè)）想出一個(gè)稱為三體問(wèn)題的概念，試圖預(yù)測(cè)月球那有點(diǎn)不規(guī)則的軌道。這種不規(guī)則產(chǎn)生的原因是月球的軌道同時(shí)受到地球和太陽(yáng)引力的影響。月亮位于繞地球軌道的不同位置時(shí)太陽(yáng)對(duì)其施加的作用力是不同的，也因此月球的軌道存在波動(dòng)。歐拉得出一條控制方程，該方程表明以第三個(gè)星體（月亮）為參照時(shí)，某兩個(gè)星體（地球和太陽(yáng)）存在著固定的關(guān)系。法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利龐加萊（1854—1912年）試圖擴(kuò)充這條方程，使它適用于更一般的情況，以便能把它引用到整個(gè)太陽(yáng)系。他沒(méi)有成功，但他能夠指出，軌道永遠(yuǎn)是不規(guī)則的。
天體運(yùn)動(dòng)并非唯一一個(gè)科學(xué)家觀察到的不規(guī)則現(xiàn)象。湍流中的數(shù)學(xué)原理長(zhǎng)期以來(lái)都困擾著數(shù)學(xué)家。當(dāng)氣體或者液體流動(dòng)時(shí)，在某些情況下，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以用數(shù)學(xué)來(lái)解析——當(dāng)液體的流動(dòng)速度是相對(duì)較小時(shí)。然而，隨著速度增加，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，尤其是在障礙物附近的運(yùn)動(dòng)，是不可預(yù)測(cè)的。這個(gè)湍流相當(dāng)沒(méi)秩序。對(duì)氣體和液體運(yùn)動(dòng)的研究稱為流體力學(xué)，而在很多場(chǎng)合中，包括運(yùn)輸，發(fā)電，甚至是理解人體的血液流動(dòng)，流體力學(xué)都對(duì)人類非常重要。
天氣可能是湍流在地球上最顯著的例子。在1960年代，美國(guó)的氣象學(xué)家愛(ài)德華羅倫茲（1917—2008年）利用計(jì)算機(jī)為空氣的運(yùn)動(dòng)建模，他注意到，當(dāng)他非常輕微地改變仿真的初始條件時(shí)，隨著時(shí)間的推移，由仿真所預(yù)報(bào)的天氣會(huì)有很大的不同。這讓羅倫茲發(fā)現(xiàn)了“蝴蝶效應(yīng)”：這個(gè)概念表示，在氣流模型中的微小變化，就像蝴蝶拍動(dòng)翅膀所帶來(lái)的變化，可能會(huì)導(dǎo)致世界的某個(gè)地方出現(xiàn)颶風(fēng)。
初始條件是敏感的，它會(huì)導(dǎo)致不可預(yù)測(cè)的、無(wú)序的行為。即使我們可以完全理解當(dāng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，我們也未能在它們速度、質(zhì)量或者溫度的測(cè)量中得到足夠的細(xì)節(jié)去預(yù)測(cè)一個(gè)長(zhǎng)期的結(jié)果。
這也可以運(yùn)用到圖靈對(duì)形態(tài)發(fā)生的觀察——盡管斑馬身上條帶的形成是由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)和化學(xué)規(guī)則掌控，是不可估量的，但那些規(guī)則之于每只斑馬的小小差異就會(huì)導(dǎo)致它們條帶的巨大差異。
天氣預(yù)報(bào)
天氣是無(wú)序的——我們永遠(yuǎn)不可能提前幾天就準(zhǔn)確把它預(yù)報(bào)出來(lái)，要是那樣，我們預(yù)報(bào)的結(jié)果也與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)。1987年英國(guó)的暴風(fēng)雨刮起了幾百年來(lái)最糟糕的狂風(fēng)，而這從未被預(yù)測(cè)到。
計(jì)算機(jī)成為研究混沌數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，因?yàn)樗屇隳軌驅(qū)δ撤N情況建模并且讓模型運(yùn)轉(zhuǎn)，并在每一個(gè)時(shí)期記錄許多變量。沒(méi)有計(jì)算機(jī)的幫助，每一步的迭代都要耗費(fèi)難以想象的時(shí)間。計(jì)算機(jī)有利于交互式過(guò)程，這為我們將要看到的數(shù)學(xué)分支帶來(lái)幫助：分形學(xué)。
顯微鏡下
盡管“分形”這個(gè)詞要到1975年才出現(xiàn)，但幾百年來(lái)，數(shù)學(xué)家都已經(jīng)對(duì)此著迷。分形就是一種有自我相似性的幾何圖形：無(wú)論你以何種尺度觀測(cè)圖象，你都能看到同樣的特征。
海岸線就是分形的一個(gè)好例子。想象一下你有一張海岸線的衛(wèi)星照片。沒(méi)有任何像建筑物、樹或者船之類的線索，你發(fā)現(xiàn)很難判斷自己是在看離海岸1000英里的地方還是離陸地10英里的地方。這是因?yàn)槟切┨卣鳌恿魅肟�，岬角，海灣等——以不同的尺度�?lái)看都很相似。上述情況也適用于許多自然景觀的特征。在月球上的宇航員發(fā)現(xiàn)很難測(cè)量卵石的尺寸——沒(méi)有大氣籠罩，他們不能判定自己是在100米以外觀察一個(gè)像車那么大的卵石還是在500米以外觀察一個(gè)更大的卵石。
日常的分形學(xué)
很多的樹和植物都有一個(gè)分支的、類似分形的結(jié)構(gòu)。尤其是蕨類植物——植物的葉子看起來(lái)與其復(fù)葉的縮小版很相似。
我們今天在游戲和電影中看到的CGI（計(jì)算機(jī)生成圖像）經(jīng)常都是利用分形算法去構(gòu)造風(fēng)景、植物葉子、云朵，甚至皮膚和毛發(fā)，以使它們看起來(lái)真實(shí)。
|
