《數(shù)學(xué)演義》對(duì)古今中外著名的數(shù)學(xué)故事用演義文體進(jìn)行通而不俗、深入淺出的論述。例如十進(jìn)制和二進(jìn)制的故事和游戲，《九章算術(shù)》寓理于算的高招，三次方程與四次方程求根公式的演繹，兔子序列與優(yōu)選法，笛卡兒之夢(mèng)，油漆匠悖論，人口論中的數(shù)學(xué)，太和殿的屋頂是什么形狀？怎樣對(duì)圖進(jìn)行計(jì)算？防空導(dǎo)彈需要多少枚？如何算出系統(tǒng)工程的竣工日期？你想做數(shù)學(xué)家嗎？等等。行文流暢生動(dòng)，推理嚴(yán)格簡(jiǎn)潔，是一部雅俗共賞的科普著作。
目錄：
叢書(shū)修訂版前言
第一版總序
前言
第一回手指腳趾計(jì)數(shù)自然
二進(jìn)十進(jìn)游戲高雅1
第二回測(cè)天度地作周髀
弄巧動(dòng)智證勾股4
第三回欲知何謂無(wú)理數(shù)
應(yīng)尋誰(shuí)是戴德金11
第四回詭辯派胡謅規(guī)尺作圖題
眾后生高談擴(kuò)域超越數(shù)16
第五回?cái)?shù)學(xué)之神巧施反證定圓畝
阿基米德切片秤量度球積23
第六回引葭赴岸劉徽設(shè)計(jì)公式解
玉枝傾倒天竺學(xué)吟蓮花詩(shī)28叢書(shū)修訂版前言
第一版總序
前言
第一回手指腳趾計(jì)數(shù)自然
二進(jìn)十進(jìn)游戲高雅1
第二回測(cè)天度地作周髀
弄巧動(dòng)智證勾股4
第三回欲知何謂無(wú)理數(shù)
應(yīng)尋誰(shuí)是戴德金11
第四回詭辯派胡謅規(guī)尺作圖題
眾后生高談擴(kuò)域超越數(shù)16
第五回?cái)?shù)學(xué)之神巧施反證定圓畝
阿基米德切片秤量度球積23
第六回引葭赴岸劉徽設(shè)計(jì)公式解
玉枝傾倒天竺學(xué)吟蓮花詩(shī)28
第七回劉徽首創(chuàng)等冪等積定理
祖暅巧算牟合方蓋體積32
第八回五家共井劉徽解法不俗
大竹小竹九章招數(shù)真絕37
第九回莞蒲生葉引發(fā)指數(shù)方程
兩鼠穿墻呼喚對(duì)數(shù)解法42
第十回五湖四海能者細(xì)算圓周率
古今中外何人通曉實(shí)數(shù)π46
第十一回癡迷數(shù)學(xué)張遂剃度天臺(tái)山
創(chuàng)立天元李冶隱居封龍谷51
第十二回楊輝三角藏?cái)?shù)理
華老觚板揭玄機(jī)56
第十三回天地人物漢卿著《四元玉鑒》
堆垛嵐峰松庭作《算學(xué)啟蒙》61
第十四回神農(nóng)幻方楊輝獻(xiàn)藝
憂(yōu)郁圖版丟勒作秀68
第十五回三次方程鬧劇獲得公式解
神醫(yī)卡丹內(nèi)疚難舍詭辯量72
第十六回嚴(yán)刑逼供伽利略違心交出悔過(guò)書(shū)
死不悔改保釋犯巧手發(fā)明扇形規(guī)80
第十七回比薩才子寵養(yǎng)兔子成序列
斐波那契應(yīng)試宮廷得滿(mǎn)分85
第十八回給我兩個(gè)互素自然數(shù)
送君一枚正星多邊形91
第十九回豪華廣場(chǎng)追求地面別致
美麗石磚講究邊角適度93
第二十回歐拉函數(shù)奇妙無(wú)窮
費(fèi)馬定理難度有限96
第二十一回算術(shù)游戲豈止詼諧愜意
數(shù)學(xué)小品絕非粗俗作秀101
第二十二回帕普斯五線(xiàn)一點(diǎn)求軌跡
笛卡兒一夜三夢(mèng)得魔鑰104
第二十三回牛頓求導(dǎo)表述欠妥
牧師發(fā)難搬弄是非110
第二十四回伯克萊悖論一波未平
油漆匠謬言驚瀾再起113
第二十五回歐拉柯西眾賢加固微積分
外爾斯特拉斯力駁伯克萊116
第二十六回伯努利擺擂征解速降線(xiàn)
牛萊歐應(yīng)戰(zhàn)創(chuàng)立變分法127
第二十七回帕斯卡費(fèi)馬分賭本
伯努利卡丹論概率140
第二十八回投針求π數(shù)理不凡
隨機(jī)畫(huà)弦悖論真刁146
第二十九回二馬高談人口論誰(shuí)是誰(shuí)非
利柏計(jì)算考古學(xué)孰真孰假150
第三十回公理定理嚴(yán)密準(zhǔn)確
謬論悖論似是而非155
第三十一回直覺(jué)恩賜過(guò)我們
直覺(jué)誤導(dǎo)過(guò)我們166
第三十二回斯巴達(dá)魔咒腰帶纏棍可破譯
RSA明文密鑰公開(kāi)不泄密171
第三十三回凱萊大律師攢錢(qián)研究代數(shù)
網(wǎng)絡(luò)鄰接陣計(jì)量細(xì)算圖論177
第三十四回康托爾創(chuàng)建數(shù)學(xué)天堂
龐加萊詛咒集合地獄187
第三十五回英國(guó)海岸幾多長(zhǎng)
北疆雪花何其美193
第三十六回設(shè)空防搞空襲勝率多少
備導(dǎo)彈派飛機(jī)耗損幾何202
第三十七回微分方程天上人間常見(jiàn)模型
定性理論現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要分支210
第三十八回系統(tǒng)工程須統(tǒng)籌
關(guān)鍵工序應(yīng)先知226
第三十九回人皆尊重有為者
我也要做數(shù)學(xué)家231
第四十回?cái)?shù)學(xué)演義言猶未盡
篇末寄語(yǔ)情絲不斷238
參考文獻(xiàn)240第一回手指腳趾計(jì)數(shù)自然二進(jìn)十進(jìn)游戲高雅
話(huà)說(shuō)5萬(wàn)多年前，我們的祖先手持石器木棒，刀耕火種，狩獵捕魚(yú)，逐漸有了“有無(wú)與多少”的概念。他們清點(diǎn)獵物和收獲的野果，拿過(guò)一只山雞，就扳屈一個(gè)指頭，10個(gè)指頭全扳屈了，就在地上放一塊石子，心知已得10只山雞，這就是10進(jìn)制的萌芽。指頭是自然界賦予人類(lèi)的，所以后人稱(chēng)從1開(kāi)始的正整數(shù)為自然數(shù)。19世紀(jì)，德國(guó)大數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克說(shuō)：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余一切都是人造的。”此話(huà)中的“上帝”如果理解成宇宙，則此言言之有理。我國(guó)民間約定俗成了一種“手指數(shù)”：伸直一個(gè)指頭代表1，伸直兩個(gè)指頭代表2，，伸直五個(gè)指頭代表5，伸出大拇指與小拇指代表6，伸出食指與中指和大拇指捏在一起代表7，伸出大拇指與食指代表8，伸出食指且彎曲代表9，伸出一個(gè)拳頭代表10。古代南美洲印第安人生活困苦，加之天氣炎熱，幾乎人人赤腳，于是在他們的瑪雅文化中使用20進(jìn)制(手指加腳趾=20)，有些國(guó)家也受了瑪雅文化的影響，例如丹麥人、威爾士人、格陵蘭人等，用一口人代表20，兩口人代表40等等，英國(guó)人常用Score(20，記賬，計(jì)算)這個(gè)詞，他們心目中20和計(jì)數(shù)是有內(nèi)在聯(lián)系的。古巴比倫人(今伊拉克人的祖先)則用60進(jìn)制，全世界的計(jì)時(shí)一直到現(xiàn)在仍在沿用60進(jìn)位制。
到了近代，數(shù)學(xué)家把進(jìn)位制用級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)，例如
在十進(jìn)制中，2004=4×100+0×101+0×102+2×103
模仿十進(jìn)制的這種表達(dá)方式，其他進(jìn)位制的數(shù)字最大者不能超過(guò)進(jìn)位制基數(shù)(十進(jìn)制基數(shù)是10)減1，例如5進(jìn)制中沒(méi)有形如2005這個(gè)數(shù)。
在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成10進(jìn)制為254(符號(hào)表示“規(guī)定”)：20044×50+0×51+0×52+2×53=254在20進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成10進(jìn)制為16004：20044×200+0×201+0×202+2×203=16004一般而言，正整數(shù)在10進(jìn)制中是N，則當(dāng)N=a0×b0+a1×b1+a2×b2++an×bn時(shí)，在b進(jìn)制中寫(xiě)成N=anan-1an-2a0，其中b是自然數(shù)。
17世紀(jì)，德國(guó)大數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)明了二進(jìn)制，在二進(jìn)制中，只有0與1兩個(gè)數(shù)字，如果0是斷電，1是通電，則用0-1化表達(dá)的整數(shù)適于“電氣化”，所以在計(jì)算機(jī)上二進(jìn)制很吃香。
在十進(jìn)制與二進(jìn)制中，可以編制不少好玩的數(shù)字游戲。
【游戲1】“用手指計(jì)算器”計(jì)算5到10之間的任二數(shù)之積。
例如8×9，一只手上伸出8-5=3個(gè)指頭，另一只手伸出9-5=4個(gè)指頭，3+4=7，7就是積的十位數(shù)字，把兩手彎曲的指頭數(shù)相乘得
2×1=2，2就是積的個(gè)位數(shù)，于是8×9=72。
道理：ab=［(a-5)+(b-5)］10+(10-a)(10-b)。
【游戲2】把你心中的兩位數(shù)的十位數(shù)字乘以5加上7，再二倍，加上原來(lái)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)，結(jié)果是幾？這個(gè)幾減去14就是你讓我猜的那個(gè)數(shù)。
道理：設(shè)你心中的兩位數(shù)是ab，則2(5a+7)+b=(10a+b)+14=ab+14。
【游戲3】把你心中的三位數(shù)的百位數(shù)字乘以2，加上3，乘以5，加上7，再加上原來(lái)那個(gè)數(shù)的十位數(shù)字，乘以2，加上3，乘以5，再加上原來(lái)那個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，結(jié)果是幾？這個(gè)幾減去235就是你讓我猜的那個(gè)數(shù)。
道理：設(shè)你心中的三位數(shù)是abc，則
52［5(2a+3)+7+b］+3+c=100a+10b+c+235。
【游戲4】把你心中的三位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)，如果你那個(gè)數(shù)百位與個(gè)位不一樣，你告訴我這兩個(gè)數(shù)之差的最后一個(gè)數(shù)字，我就能猜出這個(gè)數(shù)。
道理：abc=100a+10b+c，cba=100c+10b+a，a≠c，于是
abc-cba=100(a-c)+(c-a)，知道了c-a，就知道a-c，于是差100(a-c)+(c-a)就知道了。
【游戲5】①13579111315
�、�236710111415
�、�456712131415
④89101112131415
一個(gè)不超過(guò)15歲的孩子，只要他告訴我他的年齡在哪幾行，我立刻知道他今年幾歲。
謎底：把他告知的那幾行的排頭相加即得。
道理：把上述4行的數(shù)(1至15)都表成二進(jìn)制，則知第1行最后數(shù)字是1，第2行倒數(shù)第2個(gè)數(shù)字是1，第3行倒數(shù)第3個(gè)數(shù)字是1，第4行第1個(gè)數(shù)字是1，而未知數(shù)(年齡)x可表示成x=a020+a121+a222+a323x在第n行，則an-1=1，例如你說(shuō)你的年齡在1，3，4行，則a0=a2=a3=1，x=a020+a121+a222+a323=1+22+23=13(歲)。
如果你用1到31(25-1)這31個(gè)數(shù)字排成5行，每行16個(gè)數(shù)，排頭分別是1，2，4，8，16，且把在2進(jìn)制中最后一個(gè)數(shù)字為1的數(shù)排在第1行，把2進(jìn)制中倒數(shù)第2個(gè)數(shù)字為1的數(shù)排在第2行，倒數(shù)第3個(gè)數(shù)字為1的排在第3行，倒數(shù)第4個(gè)數(shù)為1的排在第4行，倒數(shù)第5個(gè)數(shù)為1的排在第5行。則可以問(wèn)一位青少年(不超過(guò)31歲)，讓他告知他的年齡在第幾行，再把這幾行的排頭相加，即是他的年齡。
依此類(lèi)推，可以制作n+1行的數(shù)表，排頭分別是1，2，4，，2n，進(jìn)行相似游戲。且容易證明每行恰有2n個(gè)不同的數(shù)，這些數(shù)來(lái)自｛1，2，3，，2n+1-1｝。
第二回測(cè)天度地作周髀弄巧動(dòng)智證勾股
第二回測(cè)天度地作周髀
弄巧動(dòng)智證勾股
公元前11世紀(jì)，商紂王暴虐無(wú)道，寵淫婦妲己，殺忠臣比干，朝廷揮霍無(wú)度，官僚苛政猛于虎，弄得神州民不聊生；周武王起兵伐紂，一呼百應(yīng)，糾兵不堪一擊，紂王兵敗自焚，西周建國(guó)。武王封其胞弟周公為相，周公乃中國(guó)古代第一聰明人，他上知天文下知地理又精通數(shù)學(xué)，不但有治國(guó)平天下之韜略，而且重視科學(xué)技術(shù)，鼓勵(lì)臣民鉆研自然科學(xué)。朝中一位文臣喚作商高，這位商高是當(dāng)時(shí)有名的星相家，兼善計(jì)算，一日，風(fēng)和日麗，朝中無(wú)要事，周公在王家花園散步，見(jiàn)商高拿一個(gè)繩圈擺弄，只見(jiàn)那繩圈上用紅色等分成12等份，每份1尺(1米=3尺)。周公問(wèn)道：“此物何用？”商高答：“此圈大有學(xué)問(wèn)�！敝芄穯�(wèn)：“何許學(xué)問(wèn)，請(qǐng)先生指教�！鄙谈哂谑窍蜻@位開(kāi)國(guó)重臣論述了下面一段12尺繩圈上的數(shù)學(xué)，商高考慮邊長(zhǎng)為整數(shù)的由繩圈構(gòu)成的三角形。
(1)把繩圈拉緊構(gòu)成的三角形中，不會(huì)有邊長(zhǎng)大于5的三角形。
事實(shí)上，設(shè)由繩圈構(gòu)成的三角形中邊長(zhǎng)分別為x尺、y尺和z尺，則應(yīng)有x+y+z=12若x≥6，則y+z=12-x≤6≤x而在三角形中，兩邊之和y+z應(yīng)大于第三邊x，矛盾，所以x不應(yīng)大于5。
這時(shí)x∈｛1，2，3，4，5｝。
(2)當(dāng)x=1時(shí)，y+z=12-x=11。與(1)同理可知y≤5，z≤5，這樣，y+z≤10，與y+z=11矛盾，可見(jiàn)不存在x=1尺的由繩圈構(gòu)成的三角形。
(3)當(dāng)x=3時(shí)，y+z=12-3=9，y≤3時(shí)，z=9-y≥9-3=6，與z≤5相違，故y≥4；同理z≥4，于是只能是y=4，z=5，或y=5，z=4，即這時(shí)三角形三邊長(zhǎng)只能是3尺、4尺和5尺。
(4)當(dāng)x=4時(shí)，y+z=12-4=8，由y≤5，z≤5知y∈｛3，4，5｝，這時(shí)只有三種可能：
①x=4，y=3，z=5，②x=4，y=4，z=4，③x=4，y=5，z=3。
由①②③知繩圈構(gòu)成的邊長(zhǎng)為整數(shù)的三角形，若一邊長(zhǎng)為4，則只有兩種情形，或者邊長(zhǎng)分別為3尺、4尺和5尺，或者是邊長(zhǎng)為4的正三角形。
(5)當(dāng)x=5時(shí)，y+z=12-5=7，又由y≤5，z≤5知y∈｛2，3，4，5｝，這時(shí)只有四種可能：
�、躼=5，y=4，z=3，⑤x=5，y=5，z=2，⑥x=5，y=3，z=4，⑦x=5，y=2，z=5。
綜上所述，商高對(duì)周公下結(jié)論說(shuō)：
用這條繩圈構(gòu)成的邊長(zhǎng)為整數(shù)的三角形只有三種：
第一種：三邊長(zhǎng)皆4尺的正三角形，它的三個(gè)角都是60°。
第二種：底邊長(zhǎng)2尺，兩腰皆5尺的等腰三角形。
第三種：邊長(zhǎng)分別為3尺、4尺和5尺的一個(gè)三角形，這個(gè)三角形有一個(gè)角是90°，這個(gè)角與5尺長(zhǎng)的邊相對(duì)；我把它的最短邊叫做勾，最長(zhǎng)的邊叫做弦，另一條邊叫做股，這時(shí)勾2+股2=弦2，(即32+42=52)。
勾3股4弦5的這種直角三角形是由三個(gè)連續(xù)整數(shù)為邊長(zhǎng)的唯一的直角三角形。事實(shí)上，設(shè)x為整數(shù)，x-1，x，x+1是一個(gè)直角三角形的三條邊之長(zhǎng)，由
勾2+股2=弦2
得
(x-1)2+x2=(x+1)2
x(x-4)=0
解得正整數(shù)x=4，于是x-1=3，x+1=5，即這種三角形是唯一的，它就是我們上面由繩圈構(gòu)成的那個(gè)勾3股4弦5的直角三角形。
周公聽(tīng)了商高上述一番論述，贊嘆道：“商高賢弟真神人也�！敝芄蛏谈咦稍�(xún)?nèi)绾斡?jì)算天有多高地有多廣。周公問(wèn)道：“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高答道：“勾廣3，股修4，徑隅5。”商高指著豎立的8尺長(zhǎng)的牛大腿骨說(shuō)，大人您瞧，這根“周髀”的影子長(zhǎng)6尺，按我們上面從繩圈得到的結(jié)論，即按直角三角形三邊之比為3∶4∶5可知，從“周髀”的頂?shù)健爸荀隆庇白拥亩它c(diǎn)之距離應(yīng)該是2×5=10尺。見(jiàn)圖2-1。如果我們能測(cè)得日下之長(zhǎng)AD，則可以得日高股長(zhǎng)=AD勾長(zhǎng)
斜至日弦長(zhǎng)=AD勾長(zhǎng)從而算出日高與“斜至日”。
圖2-1
后來(lái)周公的后代陳子把商高的“勾三股四弦五”的結(jié)論32+42=52推而廣之，說(shuō)了下面一句十分重要的有歷史意義的話(huà)：“求斜至日者，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并以開(kāi)方除之，得斜至日�！贝搜暂d入我國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典《周髀算經(jīng)》上。陳子的話(huà)用現(xiàn)在的話(huà)來(lái)講就是“直角三角形斜邊之長(zhǎng)等于兩直角邊平方和的算術(shù)平方根”，此即我們現(xiàn)在所說(shuō)的勾股定理。據(jù)說(shuō)陳子等人測(cè)得“日下=60000里，日高=80000里”(1里=500米)，于是
斜至日=600002+800002=100000里
這些數(shù)據(jù)顯然是錯(cuò)的，在不知宇宙的無(wú)窮性和地球是球狀星體又缺乏測(cè)
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