《幻方與素數(shù)：娛樂數(shù)學兩大經(jīng)典名題》分為兩部分，第一部分是百變幻方——娛樂數(shù)學第一名題，對古今中外在幻方研究中的發(fā)現(xiàn)和成果有極為詳細的介紹；第二部分是素數(shù)——娛樂數(shù)學另一經(jīng)典名題，包括素數(shù)之謎、素數(shù)奇趣、素數(shù)與完美數(shù)、素數(shù)與親和數(shù)等問題。題材廣泛、內(nèi)容有趣，能夠啟迪思想、開闊視野，培養(yǎng)讀者分析和解決問題的能力。
作者簡介：
張景中，我國著名數(shù)學家、計算機專家，曾任中國科普作家協(xié)會理事長。他的不講數(shù)學理論只講數(shù)學思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數(shù)學的創(chuàng)作手法，是我國數(shù)學科普創(chuàng)作的一大飛躍。他的數(shù)學科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡單的材料收集乖¨整理，而是一個站在科學前沿的學者的真知灼見。因此，他寫的科普讀物高屋建瓴，常有畫龍點睛，令人叫絕之筆，多年以來，喜歡數(shù)學的讀者無不渴望得到他的作品。張景中院士的科普作品是中國數(shù)學科普的旗幟，是中國數(shù)學科普最高水平的標志。吳鶴齡，漢族，上海市金山區(qū)人，1937年5月出生。1998年從北京理工大學退休后從事科普創(chuàng)作，已先后出版《ACM圖靈獎》、《IEEE計算機先驅(qū)獎》、《好玩的數(shù)學》、《七巧板、九連環(huán)和華容道》、《囚徒的困境》、《迷宮趣話》、《魅力魔方》，獲得2009年國家科學技術(shù)進步獎二等獎、第三屆臺灣吳大猷科普著作獎翻譯類佳作獎、北京市箍四屆優(yōu)秀科普作品獎、國家新聞出版總署第二屆“三個一百”原創(chuàng)優(yōu)秀圖書出版工程等多項獎勵。
目錄：
叢書修訂版前言
第一版總序
第四版說明
第三版說明
第二版說明
第一版前言
第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學第一名題
引子洛水神龜獻奇圖
01有關(guān)幻方的傳聞趣事
1.1宇宙飛船上的搭載物
1.2南宋楊輝——研究幻方第一人
1.3楊輝4階幻方中的奧秘
1.4出土文物中的阿拉伯幻方
1.5歐洲的“幻方熱”和名畫“憂傷”中的幻方
1.6富蘭克林的神奇幻方叢書修訂版前言
第一版總序
第四版說明
第三版說明
第二版說明
第一版前言
第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學第一名題
引子洛水神龜獻奇圖
01有關(guān)幻方的傳聞趣事
1.1宇宙飛船上的搭載物
1.2南宋楊輝——研究幻方第一人
1.3楊輝4階幻方中的奧秘
1.4出土文物中的阿拉伯幻方
1.5歐洲的“幻方熱”和名畫“憂傷”中的幻方
1.6富蘭克林的神奇幻方
02怎樣構(gòu)造幻方
2.1連續(xù)擺數(shù)法（暹羅法）
2.2階梯法（樓梯法）
2.3奇偶數(shù)分開的菱形法
2.4對稱法
2.5對角線法
2.6比例放大法
2.7斯特雷奇法
2.8LUX法
2.9拉伊爾法（基方、根方合成法）
2.104襄邊法
2.11相乘法
2.12幻方模式
03幻方數(shù)量知多少
3.13階幻方的數(shù)量
3.24階幻方的數(shù)量
3.35階幻方的數(shù)量
04“幻中之幻”
4.1對稱幻方
4.2泛對角線幻方
4.3棋盤上的幻方
4.4親子幻方
4.5奇偶數(shù)分居的對稱鑲邊幻方
4.6T形幻方
05非正規(guī)幻方
5.1普朗克幻方
5.2合數(shù)幻方
5.3乘幻方及其他
06幻方的變形
6.1楊輝的幻圓
6.2對楊輝變形幻方的發(fā)展
6.3中世紀印度的幻圓和魔蓮花寶座
6.4富蘭克林的八輪幻圓
6.5幻星
6.6幻矩形
6.7魔蜂窩
6.8幻環(huán)
07進一步的“幻中之幻”
7.1雙幻方
7.2幻立方（魔方）
7.3四維魔方
7.4—些奇特的魔幻方
第二部分娛樂數(shù)學另一經(jīng)典名題——素數(shù)
08素數(shù)之謎
8.1素數(shù)的無限性及其證明
8.2有沒有素數(shù)的一般表達式
8.3表達素數(shù)的函數(shù)
8.4怎樣判定大素數(shù)
8.5某范圍內(nèi)素數(shù)知多少
8.6梅森素數(shù)最大素數(shù)的表示形式
8.7最大素數(shù)有多大
09素數(shù)奇趣
9.1由順（逆）序數(shù)字組成的素數(shù)
9.2回文素數(shù)
9.3可逆素數(shù)
9.4“雙胞胎”和“三胞胎”素數(shù)
9.5形成級數(shù)的素數(shù)
9.6“清一色”和“近乎清一色”的素數(shù)
9.7素數(shù)與π及其他
9.8—些素數(shù)倒數(shù)的特殊性質(zhì)
9.9素數(shù)分布的有趣圖案
9.10高斯素數(shù)和艾森斯坦素數(shù)
10素數(shù)和完美數(shù)
10.1求完美數(shù)的公式
10.2完美數(shù)與梅森素數(shù)
10.3完美數(shù)的一些特征
10.4多倍完美數(shù)
10.5另一種完美
11素數(shù)和親和數(shù)
11.1什么叫親和數(shù)？
11.2產(chǎn)生親和數(shù)的公式
11.3親和數(shù)
12素數(shù)和幻方
12.1素數(shù)幻方
12.2科藝幻方
部分習題、問題答案
參考文獻
數(shù)學網(wǎng)站第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學第一名題
本書分兩大部分，第一部分專門介紹幻方，第二部分介紹素數(shù)。把幻方作為一個專題著重加以介紹，并非完全是由于筆者的偏愛，更主要的是因為幻方在娛樂數(shù)學中的地位以及它的意義實在非同一般，也因為幻方是中國人的首創(chuàng)，是值得中國人驕傲的。賴塞(H.J.Ryser)的名著《組合數(shù)學》（CombinatorialMathematics）(MAA，1962)開宗明義地寫道：“組合數(shù)學，也稱為組合分析或組合學，是一門起源于古代的數(shù)學學科。據(jù)傳說，中國的大禹(約公元前2200年)在一只神龜?shù)谋成峡吹饺缦禄梅蕉蠹s公元前1100年，排列即已在中國開始萌芽”
幻方從中國傳到世界其他地區(qū)以后，引起廣泛的重視，一代又一代的學者對它進行不懈的研究，取得了許多成果，有關(guān)的文獻資料多不勝舉。數(shù)學家詹姆士紐曼(JamesRoyNewman，1907～1966)在20世紀50年代編輯了一部數(shù)學文庫性質(zhì)的《數(shù)學世界》(TheWorldofMathematics，TempusBooks，1956)，收集了數(shù)學各個分支、各個年代的名家名篇133篇，分4大卷出版。在“數(shù)學游戲與數(shù)學謎語”這部分的開頭，紐曼在介紹中提到幻方時說道：“單單是有關(guān)幻方的著作就足夠辦一個規(guī)模可觀的圖書館了(Thewritingsonmagicsquaresalonesufficetomakeafair-sizedlibrary)�！弊x者在看過本書以后當會相信紐曼的這個說法是一點也不過分的，筆者專用一部分介紹幻方也是有道理的。
引子洛水神龜獻奇圖
公元前2200年，也就是距今4300年左右，在我們中華民族祖先居住的大地上，發(fā)生了暴雨連綿、洪水泛濫、成千上萬的人遭到?jīng)]頂之災的大悲劇。當時人類抵御自然災害的能力十分有限。在拯救自身生命的強烈愿望驅(qū)使下，人們奮起抗災，在斗爭和失敗中學習，涌現(xiàn)出了許多可歌可泣的故事，其中大家最熟悉的是大禹為治水三過家門而不入的事跡。在大禹治水的過程中，還有許多美麗、動人的傳說。例如，相傳大禹在治黃河的時候，黃河龍馬獻給大禹一張河圖，從而幫助大禹制定了一套正確的治黃方案。另一則傳說是大禹在治洛水的時候，洛水神龜獻給大禹一本洛書，書中有如圖0-1所示的一幅奇怪的圖。這幅圖用今天的數(shù)學符號翻譯出來，就是一個3階幻方，也就是在3×3的方陣中填入1～9，其每行、每列和2條對角線上3個數(shù)字之和都相等，等于15，并把它叫做幻方常數(shù)(magicsquareconstant)或幻和(magicsum)。這就是中國人首先發(fā)現(xiàn)的世界第一個幻方。別小看了這個小小的幻方，這是中國人在數(shù)學上的一個偉大創(chuàng)造，它奠定了數(shù)學中一個重要分支——組合學的基礎。當然，由于當時還沒有發(fā)明我們今天所使用的數(shù)字符號，所以我們的祖先就巧妙地用這個圖來表達他們所知道的幻方。圖中，奇數(shù)用若干個空心的圓圈表示，偶數(shù)用若干個實心的圓圈表示，這和中國古時的陰陽學說有關(guān)。
由于作為洛書3階幻方基礎的九宮數(shù)字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中就有清清楚楚的記載，因此，中國人首先發(fā)現(xiàn)了幻方，是國際數(shù)學界公認的。但是，幻方到底是什么時候出現(xiàn)的，有沒有實物為證？這個問題卻長期得不到解決，直到20世紀70年代的一個考古發(fā)現(xiàn)才最終給出了答案。
圖0-1洛書上的3階幻方
1977年春，安徽省阜陽縣(現(xiàn)改為“阜陽市”)城郊的農(nóng)民在雙古堆平整土地時，發(fā)現(xiàn)了兩座古墓。文物工作者發(fā)掘后證明這是西漢汝陰侯的墓葬。汝陰侯是漢高帝劉邦對其同鄉(xiāng)的功臣夏侯嬰的封號。墓主人是第二代汝陰侯夏侯灶及其妻子。據(jù)史書記載，夏侯灶死于漢文帝15年，即公元前165年，距今已2170多年。出土文物中包括3件極為珍貴的中國古代天文儀器，其中一件叫“太乙九宮占盤”，是用來占卦的盤，分上盤和下盤兩部分，上盤嵌入下盤的凹槽，可以隨意轉(zhuǎn)動，如圖0-2(a)所示。將盤上的古漢字轉(zhuǎn)寫成現(xiàn)代漢字以后如圖0-2（b)。由圖可見，太乙九宮占盤正面是按八卦位置和金、木、水、火、土五行屬性排列的，其九宮名稱和各宮節(jié)氣的天數(shù)與古書《靈樞經(jīng)》（這是《黃帝內(nèi)經(jīng)》的重要組成部分，是中國最早研究天氣變化與人體關(guān)系，以占風圖0-2太乙九宮占盤候，治疾病的古書）完全一致。這個占盤就是用來測算立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至這8個節(jié)氣的，說明我們的祖先很早就掌握了季節(jié)變化的規(guī)律，這里我們不加詳述，感興趣的讀者可參閱《考古》1978年5月號上殷非的文章“西漢汝陰侯墓出土的占盤和天文儀器”。我們感興趣的是盤上圓圈中8個方位上的數(shù)字如果補上中心因安裝轉(zhuǎn)軸而無法刻上的“5”的話，恰為九宮數(shù)字“四九二，三五七，八一六”！因此，我國數(shù)學史專家梁宗巨先生在其遺作《世界數(shù)學通史》（遼寧教育出版社，2005）中認定這是一個3階幻方的實物。根據(jù)盤上刻的該盤的制作年代“第三七年辛酉目中冬至”的字樣，專家已確切地考證出這是漢文帝7年（也就是公元前173年），因此幻方在中國的出現(xiàn)已有2180年以上的歷史，比根據(jù)《大戴禮記》的推算提前了兩個半世紀（但不知什么原因，梁先生書上只說提前了一個半世紀）�；梅胶髞黻懤m(xù)傳播到日本、朝鮮、印度、泰國、阿拉伯等地，引起廣泛興趣和重視。但根據(jù)史料記載，國外最早研究幻方的學者當推阿拉伯的塔比伊本夸兒拉(ThabitibnQurrah，826～901)，那已是公元9世紀了。至于歐洲人知道幻方就更晚了，最早是生于康斯坦丁諾普爾(Constantinople)的印度人穆曉普魯斯(ManuelMoschopulus)首先在15世紀把幻方介紹到歐洲去的。
在中國古代，洛書3階幻方被蒙上了一層厚厚的神秘色彩。周朝的易學家把它同“九宮說”等同起來(九宮指乾、坎、艮、震、巽、離、坤、兌八卦之宮，外加中央之宮，合稱九宮)，或者把它同他們所主張的“天地生成數(shù)說”聯(lián)系起來(天數(shù)指奇數(shù)1、3、5、7、9，表陽、乾、天等；地數(shù)指2、4、6、8，表陰、坤、地等)。而兩漢時的巫師或方士則把它用作占卜吉兇的圖讖。在我國西藏地區(qū)，過去藏民普遍攜帶的一種護身符如圖0-3所示，除了有黃道十二宮和八卦以外，中央就是一個用藏文數(shù)字表示的3階幻方。此外，初版于1923年的《數(shù)學史》（D.E.Smith:HistoryofMathematics)中，轉(zhuǎn)載了拉薩出版物中一幅名為“生命之輪”（WheelofLife）的畫，如圖0-4所示，也有類似的，但宗教色彩更濃厚，內(nèi)容更豐富的圖案，其中央也是一個3階幻方。另一方面，由于洛書3階幻方配置9個數(shù)字的均衡性和完美性，產(chǎn)生了極
圖0-3藏民的護身符
圖0-4“生命之輪”
大的審美效果，使古人認為其中包含了某種至高無上的原則，也把它作為治國安民九類大法的模式，或把它視為舉行國事大典的明堂的格局，因此使中國古人的這一數(shù)學杰作，具有哲學意義的創(chuàng)造。
事實上，隱藏在洛書3階幻方背后，還可能有許多奧秘有待人們?nèi)ネ诰�。我國著名的科普作家兼娛樂�?shù)學專家談祥柏先生就曾在他的著作中介紹了有關(guān)對洛書3階幻方的新發(fā)現(xiàn)。首先是把幻方想像為畫在汽車輪胎上，于是，最左一列與最右一列相鄰，最上一行與最下一行也相鄰。這時，9個2×2方陣中的4數(shù)之和恰好從16到24，既不重復也不遺漏，如圖0-5所示。你說奇不奇?
其次，把每列數(shù)字看成一個3位數(shù)，則此3個3位數(shù)之和與其3個逆轉(zhuǎn)3位數(shù)之和相等，而且取它們的平方和也相等，即
276+951+438=672+159+834=1665
2762+9512+4382=6722+1592+8342=1172421
不僅如此，這種性質(zhì)對行來說也成立，即
492+357+816=294+753+618=1665
4922+3572+8162=2942+7532+6182=1035369
圖0-5洛書3階幻方9個2×2方陣形成連續(xù)數(shù)列
更有甚者，如果我們把對角線也分成兩族，自左上角到右下角的主對角線及與它平行的兩條折對角線稱為主族，反方向的對角線稱為副族，則上述奇妙性質(zhì)依然成立，即
主對角線族：654+798+213=456+897+312=1665
6542+7982+2132=4562+8972+3122=1109889
副對角線族：258+714+693=852+417+396=1665……
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