與點(diǎn)評(píng)
2.22黃金矩形系列
2.23捆綁立方體
2.24立方裝箱與正方裝箱問題
2.25巧測(cè)磚塊對(duì)角線
2.26糕點(diǎn)售貨員的打包技術(shù)
2.27三角形的內(nèi)角和究競(jìng)多少度
2.28羅巴切夫斯基的想像幾何學(xué)
2.29偉大的數(shù)學(xué)革新派羅巴切夫斯基
2.30細(xì)胞幾何學(xué)
2.31螞蟻的最佳行跡
03圖論篇
3.1美麗圖論
3.2人們跑斷腿，不如歐拉一張圖
3.3數(shù)學(xué)界的莎士比亞
3.4圖是什么
3.5兩個(gè)令人失望的猜想
3.6握手言歡話奇偶
3.7饞嘴老鼠哪里藏
3.8一輛車跑遍村村寨寨
3.9沒有奇圈雌雄圖
3.10樹的數(shù)學(xué)
3.11一共生成幾棵樹
3.12生成一棵最好的樹
3.13樹上密碼
3.14追捕逃犯
3.15亂點(diǎn)鴛鴦譜
3.16錯(cuò)裝了信箋
3.17瓶頸理論和婚配定理
3.18中國(guó)郵路
3.19周游世界
3.20貪官聚餐
3.21正20面體上的剪紙藝術(shù)
3.22國(guó)際象棋馬的遍歷
3.23又是貪官聚餐
3.24天敵縱隊(duì)和王
3.25圖能擺平嗎
3.26多面體黃金公式
3.27正多面體為何僅五種
3.28非平面圖的兩個(gè)疙瘩
3.29彩色圖，不僅為了關(guān)
3.30五色定理和肯普絕招兒
3.31顏色多項(xiàng)式
3.32八皇后和五皇后問題
3.33近代最偉大的數(shù)學(xué)家
3.34妖怪的邊色數(shù)
3.35親疏恩怨，世態(tài)炎涼
3.36同色三角形
3.37拉姆賽數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)劫難
3.38多心夫妻渡河
3.39巧布骨牌陣
3.40孫臏巧計(jì)戲齊王
3.41圖上謊言
3.42走投無(wú)路之賭
3.43圖上智斗
3.44平分蘋果有多難
3.45周游世界談何易
3.46梵塔探寶黃粱夢(mèng)
3.47軟件要過硬
3.48選購(gòu)寶石與滿足問題
3.49計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)的心腹之患
3.50同生共死NPC
3.51NPC題譜
卷末寄語(yǔ)
參考文獻(xiàn)01算術(shù)篇
萬(wàn)物皆數(shù)，若沒有數(shù)，則既不能描述也不能理解任何事物。
-畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，希臘數(shù)學(xué)家，公元前580—前500)
1.1從2+2=4談起
一位聰明天真的小朋友問媽媽：“為什么2加2等于4?”媽媽答:“傻孩子，連這么簡(jiǎn)單的算術(shù)都不懂!”于是這位母親伸出左手的兩個(gè)指頭，又伸出右手的兩個(gè)指頭，左右的兩個(gè)指頭往一起一并，說：“這就叫2加2，你數(shù)一數(shù)，看是不是4?”孩子勉強(qiáng)點(diǎn)頭，接著又問：“可是4是什么玩意兒呢?”媽媽欲言而無(wú)語(yǔ)。是呀，如果母親說這些指頭的數(shù)目就叫做4，孩子再追問什么叫做999999999，那可就不好用指頭之類的東西來(lái)比劃著解釋了！
事實(shí)上，反思我們小時(shí)候?qū)臃ǖ膶W(xué)習(xí)，確實(shí)是非理性的，完全是老師和家長(zhǎng)向我們的腦子里灌進(jìn)去而記住了的七加八一十五，七加五一十二之類的指令而已；認(rèn)真思考起來(lái)，究竟每個(gè)自然數(shù)是如何定義的，加法是什么，為什么2+2=4，4+4=8，等等，確實(shí)是一個(gè)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)問題。
原始人已有自然數(shù)的初始概念，他們用小石頭來(lái)記錄捕捉的獵物的個(gè)數(shù)（或用“結(jié)繩記事”法）。有人捕來(lái)一只野兔，他們就在小坑里放上一顆石子，又有人捕來(lái)一只野兔，他們就在小坑中又投放一顆石子，等等。事實(shí)上，這逐一地向小坑中投石子的過程恰是加法運(yùn)算的真諦，投一顆石子就叫做加上1，1加1得到的數(shù)量就叫做2，2再加1得到的數(shù)量就叫做3，等等。再后來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)了加法的結(jié)合律，即1+1+1+1=(1+1)+(1+1)，等等。公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家引人零的符號(hào)“0”，它是自然數(shù)的“排頭”。到了19世紀(jì)，皮亞諾(G.Peano，1858!1932)提出了五條算術(shù)公理，才從理論上徹底解決了什么是自然數(shù)，為什么2+2=4等數(shù)學(xué)上的這些基本問題，他的三個(gè)概念與五個(gè)公理是：
0，后繼和自然數(shù)，以及如下五條公理：
公理1，0是自然數(shù)。
公理2任何自然數(shù)的后繼是自然數(shù)。
公理30不是任何數(shù)的后繼。
公理4不同的自然數(shù)后繼不同。
公理5對(duì)于某一性質(zhì)，若0有此性質(zhì)，而且若某自然數(shù)有此性質(zhì)時(shí)，它的后繼也有此性質(zhì)，則一切自然數(shù)都有此性質(zhì)。
具體地說，0的后繼中國(guó)人叫做一，美國(guó)人叫做one，1的后繼中國(guó)人叫做二，美國(guó)人叫做two，等等。第五公理談的是數(shù)學(xué)歸納法。一個(gè)自然數(shù)生出它的后繼的過程是加法，記成0+1=1，1+1=2，2+1=3，3+1=4，n+1=(n+1)，等等。
由皮先生的公理可以明確無(wú)誤地回答什么是自然數(shù)的問題，例如4是什么？答：4是3的后繼，或曰4是3之“子”3呢？3是2的后繼（2呢？2是1的后繼（1呢？1是0的后繼（0呢？0是祖宗，它不是誰(shuí)的后繼，是自然數(shù)的發(fā)源點(diǎn)。
2+2=4證明如下：
因?yàn)?+1=2，所以2+2=(1+1)+(1+1)，由結(jié)合律得2+2=(1+1)+(1+1)=(1+1+1)+1又因1+1+1=(1+1)+1=2+1=3所以2+2=3+1，而3+1=4，故知2+2=4是正確的。
證畢。
有了加法的概念，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法則是幾個(gè)相同的數(shù)連加的“簡(jiǎn)寫”，除法是乘法的逆運(yùn)算�？梢�，從皮氏公理出發(fā)已經(jīng)把+一X+的概念弄了個(gè)水落石出，不再是那種原始的直觀感覺（例如結(jié)繩記事）或死記的九九表了。
查閱《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》上加法詞目，詞典稱！“加法（i@D，數(shù)學(xué)中的一種運(yùn)算方法%兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)合成一個(gè)數(shù)的方法'”這種解釋實(shí)在科學(xué)’例如它只說“合成一個(gè)數(shù)”，并不說這個(gè)數(shù)（我們稱其為和）是多少。事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)于1+1的和未必總是算出2來(lái)的。遙想原始人怎樣形成數(shù)量的概念，最初只是“有”與“無(wú)”兩個(gè)概念，他們尚沒有“多少”的概念和斤斤計(jì)較的壞習(xí)氣。就是現(xiàn)代，有時(shí)也只需考慮有與無(wú)，是與否，而不必細(xì)說有多少，例如我們要寫字，關(guān)心的是有筆還是沒有筆，至于有筆時(shí)有幾枝，那都是一回事。如果這時(shí)規(guī)定0代表無(wú)（或否），1代表有（或是），則應(yīng)有0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1。這個(gè)1+1=1的算式有點(diǎn)不習(xí)慣，但對(duì)于此處的實(shí)際背景，如此定義加法是再合適不過了。這種1+1不等于2，而等于1的加法稱為“邏輯和”，1+1=1，于是（n是自然數(shù)）。
再看某種電視機(jī)開關(guān)，你用指頭捅一下，它就為你播放節(jié)目，再捅一下，它就關(guān)機(jī)了，如果把關(guān)機(jī)狀態(tài)記成0，把播放狀態(tài)記成1，則有加法法則！
0+0=0，1+0=10+1=1，1+1=0
這種加法1+1≠2，1+1≠1，而是1+1=0�？匆姏]有，這就是數(shù)字之妙，這種“數(shù)學(xué)志異”勝似《聊齋志異》！
1.2算術(shù)的基因和基理
算術(shù)四則運(yùn)算，人人都有體會(huì)，那就是加減法簡(jiǎn)單，乘法也不太難，有個(gè)“九九歌”，背熟了去乘就是了。除法里“事兒”多，除得盡還好，除不盡還要考慮約分與余數(shù)，等等，花樣不少。例如：100+4可寫成
我們看到，除法實(shí)質(zhì)上是分子分母的約分，等到把分子分母的公共因子都約光了，剩下的就是既約分?jǐn)?shù)，如果這時(shí)分母為1，就除盡了。分子上的因子有兩個(gè)2，兩個(gè)5，這兩個(gè)因子不能再變小，當(dāng)然4和25，或20，也是100的因子，但它們還可以變小，那些不能再變小的因子，即除了1與自身外，別的自然數(shù)除不盡的自然數(shù)，是最簡(jiǎn)單樸素的了，我們稱這種數(shù)為素?cái)?shù)（樸素的素）或質(zhì)數(shù)（質(zhì)t卜的質(zhì)），1也是這類性質(zhì)的數(shù)，但大家約定1不稱為素?cái)?shù)，因?yàn)槿绻?取得素?cái)?shù)資格，例如100則可以寫成100=1X1X1X1X1XX1X2X2X5X5，前方愛寫幾個(gè)1就寫幾個(gè)1，這就很不妙，一個(gè)自然數(shù)寫成素?cái)?shù)之積的形式時(shí)，形狀就不唯一了。經(jīng)驗(yàn)表明，如果不讓1參加，一個(gè)自然數(shù)若不是素?cái)?shù)，例如100，4什么的，可以唯一地寫成若干素?cái)?shù)的積，這一結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，這就是著名的算術(shù)基本定理。
大于1的不是素?cái)?shù)的自然數(shù)稱為合數(shù)，即由若干素?cái)?shù)相乘而成的數(shù)。
素?cái)?shù)是合數(shù)的基因，任給大于1的自然數(shù)N，存在唯一的素?cái)?shù)列P1≤P2≤≤Pn，使得N唯一地寫成N=P1P2Pn，此定理稱為算術(shù)基本定理，算術(shù)中很多證明，尤其是涉及除法時(shí)，主要靠這條結(jié)論去說理。
如果N是合數(shù)，則N=P1a1P2a2pmam，m≥1，P1，P2，，Pm是互異素?cái)?shù)，a1，，am是正整數(shù)，其中P1由于不超過N的合數(shù)的最小素因子不超過槡N，因此欲求不超過N的一切素?cái)?shù)，只需把1，2，，N中不超過槡N的素?cái)?shù)的倍數(shù)劃去(篩除），剩下的就是素?cái)?shù)。
30<6，所以只考慮劃去2，3，5的倍數(shù)，剩的是不超過30的那些素?cái)?shù)：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。
顯然，這種方法只能寫出不超過N的自然數(shù)中素?cái)?shù)的清單，N后面的自然數(shù)中還有不少素?cái)?shù)，例如30之后的31就是。歐幾里得第一個(gè)證明，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的。
事實(shí)上，若所有素?cái)?shù)為P1，P2，，Pk，取N=P1P2Pk+1，N>1，設(shè)N本身是素?cái)?shù)，N能除P1P2Pk+1(商為1)，又P1，P2，，Pk是所有素?cái)?shù)，則N是某個(gè)Pi，i∈{1，2，，k}，于是N能除盡P1P2pk，P1P2pk+1被N除余1，與P1P2pk+1矛盾。若N是合數(shù)，則N有一個(gè)素?cái)?shù)因子P，于是P=Pi，i∈{1，2，，k}，P能除盡P1P2pk，不能除盡P1P2pk+1，即P不能除盡N，與P是N之因子矛盾，可見全體素?cái)?shù)不是有限個(gè)。
素?cái)?shù)既然是算術(shù)中的基因，幾乎所有的算術(shù)命題當(dāng)中，都有素?cái)?shù)參與其中，有關(guān)素?cái)?shù)的命題集中了算術(shù)學(xué)科的難點(diǎn)。廣為人知的難題很多，例如下面兩個(gè)就是算術(shù)中難題的代表。
(1)關(guān)于孿生素?cái)?shù)的黎曼猜想：孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮個(gè)
所謂孿生素?cái)?shù)，即相差為2的一對(duì)素?cái)?shù)，例如（3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，等等。
至今無(wú)人能證明或反駁這一猜想。
(2)哥德巴赫猜想
1742年6月7日，圣彼得堡中學(xué)教師，德國(guó)人哥德巴赫（Gold-bach)給瑞士數(shù)學(xué)家歐拉寫信提出如下猜想：
每個(gè)大于或等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和；每個(gè)大于或等于9的數(shù)都是個(gè)數(shù)之。
兩素?cái)?shù)之和當(dāng)然是偶數(shù)，但是事情讓哥德巴赫反過來(lái)一提，可就給數(shù)學(xué)界惹來(lái)了天大的麻煩。歐拉給哥德巴赫的回函中說：“我不能證明它，但是我相信這是一條正確的定理�！睔W拉無(wú)能為力的問題，別人怕是很難解決了。在其后的150多年當(dāng)中，多少專業(yè)的和業(yè)余的數(shù)論工作者，都興趣盎然地沖擊這一看似真實(shí)的命題，無(wú)奈人人不得正果。1900年，數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖人物希爾伯特（Hilbert)在巴黎召開的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上向20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出23個(gè)待解決的名題，其中哥德巴赫猜想列為第八問題�？上�20世紀(jì)的百年奮斗仍然辜負(fù)了希爾伯特的期望。
奉勸閱歷尚淺、熱情十足的年輕朋友，不可受某些不懂?dāng)?shù)學(xué)的記者們的誤導(dǎo)，隨便立志以攻克哥德巴赫猜想為己任，而應(yīng)當(dāng)從實(shí)際出發(fā)，打好堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究的能力，再來(lái)考慮攀登哪個(gè)高峰的問題。
這里面對(duì)的是一個(gè)數(shù)學(xué)問題，不能沿用物理學(xué)家訴諸反復(fù)若干次實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)的辦法，例如有人對(duì)不超過33X106的偶數(shù)逐一驗(yàn)證，哥德巴赫猜想都是成立的，但那仍然不能解決問題。
下面是近百年來(lái)關(guān)于哥德巴赫猜想的大事記。
1912年，數(shù)學(xué)家朗道提出相近的弱猜想：
存在一個(gè)自然數(shù)M，使得每個(gè)不小于2的自然數(shù)皆可表成不超過M個(gè)素?cái)?shù)之和。
此猜想于1930年證明為真；如果M<3就好多了。
1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明了哥德巴赫猜想的后半句為真，即大于或等于9的奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)之和，這是關(guān)于哥德巴赫問題的重大突破，引起了不小的轟動(dòng)。但前半句至2000年基本上未被解決。
我們約定：命題“大于等于6的偶數(shù)可表示成a個(gè)素?cái)?shù)之積加上p個(gè)素?cái)?shù)之積”記成（a+戽，則哥德巴赫問題是：證明或反駁（1+1)。
1920年，朗道證明了（9+9)。
1924年，拉德馬哈爾證明了（7+7)。
1932年，依斯特曼證明了（6+6)。
1938年，布赫塔布證明了（5+5)。
1938年，華羅庚證明了幾乎所有的偶數(shù)都成立（1+1)。
1940年，布赫塔布等證明了（4+4)。
1947年，雷尼證明了（1+?)。
1955年，王元證明了（3+4)。
1957年，小維諾格拉多夫證明了（3+3)。
1957年，王元證明了（2+3)。
1962年，潘承洞證明了（1+5)。
1962年，潘承洞、王元證明了（1+4)。
1965年，布赫塔布、小維諾格拉多夫、邦比尼證明了（1+3)。
1966年，陳景潤(rùn)證明了（1+2)，于1973年發(fā)表。
盡管（1+2)離（1+1)只“一步之遙”，但一步登天的事談何容易！從陳景潤(rùn)搞出（1+2)至今已有30多年，一直沒有人在這個(gè)陣地上前進(jìn)半步，我國(guó)的陳景潤(rùn)仍然是此項(xiàng)世界紀(jì)錄的保持者。
培養(yǎng)出如陳景潤(rùn)這樣杰出的數(shù)學(xué)家，不但具有廣深扎實(shí)的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而且具有全身心奉獻(xiàn)科學(xué)事業(yè)的品質(zhì)，乃是我們教育工作者的一項(xiàng)
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