三顆碩大的骰子從一個(gè)波紋斜面上滾落到下面的平面。柜臺(tái)上標(biāo)著從1至6的巨大白色數(shù)字。參與的人愿意在哪個(gè)數(shù)字上押多少錢都行。骰子滾落以后，如果他押錢的數(shù)字出現(xiàn)在一顆骰子上，他就可以拿回賭注再加上與賭注同樣多的錢。如果這個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在兩顆骰子上，他不但拿回賭注，還可另得兩倍賭注的錢。如果三顆骰子上都是這個(gè)數(shù)字，他拿回賭注外，還可另得三倍賭注的錢。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，每押一元錢，能期望得到多少？《迷宮與幻方》一書(shū)為我們講解的就是此類趣味數(shù)學(xué)知識(shí)，主要供青少年閱讀�！睹詫m與幻方》由馬丁·加德納編寫(xiě)。
目錄：
中譯本前言序言第1章五種柏拉圖多面體第2章變臉?biāo)倪呅握奂埖?章亨利·杜德尼：偉大的英國(guó)趣味數(shù)學(xué)家第4章數(shù)碼根第5章九個(gè)問(wèn)題第6章索瑪立方塊第7章趣味拓?fù)涞?章φ黃金分割比第9章猴子與椰子第10章迷宮第11章趣味邏輯第12章幻方第13章詹姆斯·休·賴?yán)莩龉镜?4章又是九個(gè)問(wèn)題第15章依洛西斯歸納游戲第16章折紙藝術(shù)第17章化方為方第18章器具型趣題第19章概率與歧義第20章神秘的矩陣博士進(jìn)階讀物附記 詹姆斯·休·賴?yán)莩龉臼敲绹?guó)最大的巡回游樂(lè)團(tuán)之一，雖然它并不存在。當(dāng)聽(tīng)說(shuō)該團(tuán)已在城郊開(kāi)演時(shí)，我便驅(qū)車前去那里看望我的老朋友吉姆·賴?yán)?JimRiley)，20多年前我們是芝加哥大學(xué)的同學(xué)。當(dāng)時(shí)他在修數(shù)學(xué)研究生課程，可是某一年夏季他參加了一個(gè)巡回游樂(lè)團(tuán)，在女子色相表演節(jié)目里擔(dān)當(dāng)講解員。據(jù)游樂(lè)團(tuán)成員說(shuō)，在以后數(shù)年里，他一直樂(lè)于此道。那里的每個(gè)人都只叫他教授。而不知他姓甚名誰(shuí)。不知什么原因，他對(duì)數(shù)學(xué)的熱情沒(méi)有減退，因而我們每次相會(huì)時(shí)，總能指望從他那里學(xué)到些不尋常的數(shù)學(xué)知識(shí)。我找到教授時(shí)，他正在畸形動(dòng)物展覽前和收票員閑聊。他戴著一頂白色斯泰森氈帽，看起來(lái)要比我上次見(jiàn)到他時(shí)更老也更富態(tài)些�！懊吭露及葑x你的專欄，”我們握手時(shí)他說(shuō)道�！跋霙](méi)想過(guò)寫(xiě)一寫(xiě)小圓蓋大圓游戲？”“說(shuō)什么來(lái)著？”我問(wèn)道�！八沁@里最古老的游戲之一。”他抓著我的胳膊，推著我在游藝場(chǎng)里走，直到走到了一個(gè)展位前。那里有個(gè)柜臺(tái)，上面涂著一個(gè)直徑為1碼的紅色圓點(diǎn)。游戲目標(biāo)是要把五個(gè)金屬圓盤一次一個(gè)地放在圓點(diǎn)上，最后完全蓋嚴(yán)它。每個(gè)圓盤的直徑都是大約22英寸，一旦把圓盤放下，就不能再挪動(dòng)。如果把第五個(gè)放下后，還沒(méi)有把紅點(diǎn)全部蓋住，哪怕只露出一丁點(diǎn)兒，也要算輸。“當(dāng)然，”教授說(shuō)，“我們采用的圓點(diǎn)是圓盤能蓋住的最大的一個(gè)。多數(shù)人認(rèn)為應(yīng)該這樣來(lái)放�！彼褕A盤對(duì)稱地排放起來(lái)，如圖13.1所示。每個(gè)圓盤的邊都碰到圓點(diǎn)的中心，五個(gè)圓盤的中心構(gòu)成了正五邊形的角。圓點(diǎn)邊緣有五個(gè)小小的紅色區(qū)域還露在外面。“遺憾的是，”賴?yán)又f(shuō)，“這樣并不行。要蓋住一個(gè)最大的圓，圓盤應(yīng)這樣排放�！彼弥割^推動(dòng)圓盤，直到出現(xiàn)圖13.2所示的形狀。他解釋道，1號(hào)圓盤的中心應(yīng)放在直徑AD上，其圓周與直徑交于C點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稍低于紅圓點(diǎn)的圓心B。3號(hào)和4號(hào)圓盤的圓周應(yīng)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)和D點(diǎn)。2號(hào)和5號(hào)圓盤如圖所示把剩余的部分蓋住。自然而然我想知道BC的長(zhǎng)度是多少。賴?yán)洸黄饻?zhǔn)確的數(shù)字，可他后來(lái)寄給我一篇內(nèi)維爾(EricH.Neville)寫(xiě)的參考文章：“論數(shù)值函數(shù)方程的解法——對(duì)一個(gè)流行游戲及其解答所做的說(shuō)明”(《倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)公報(bào)》(ProceedingsoftheLondonMathematicalSociety)第二輯，第14卷，第308—326頁(yè)；1915年)，其中有這道難題的詳細(xì)解答。如果圓點(diǎn)的半徑是1，那么BC的長(zhǎng)度是0.0285略大一點(diǎn)，圓盤的最小可能半徑為0.609+。如果圓盤按圖13.1排放，其半徑就必須是0.6180339+，才能把圓點(diǎn)完全蓋住。(這個(gè)數(shù)字是第8章討論的黃金分割比φ的倒數(shù)。)此題的一個(gè)奇怪的特點(diǎn)是：兩種不同的圓盤排放方法所蓋住的面積差異十分小。除非圓點(diǎn)的直徑大到約1碼，要不然其差別難以覺(jué)察。我說(shuō)：“這使我想起一個(gè)仍未解開(kāi)的有趣問(wèn)題——一個(gè)最小面積問(wèn)題。把一塊區(qū)域的直徑定義為聯(lián)結(jié)區(qū)域上任意兩點(diǎn)的最長(zhǎng)線段。那么請(qǐng)問(wèn)：能蓋住單位直徑的任何區(qū)域的最小平面圖形狀是什么？面積多大？”教授點(diǎn)了點(diǎn)頭說(shuō)：“符合這個(gè)條件的最小正多邊形是邊長(zhǎng)為1/根號(hào)3的正六邊形。不過(guò)大約30年前有人對(duì)此作了改進(jìn)，把兩個(gè)角切掉了。”他從上衣口袋里掏出一支鉛筆和一個(gè)拍紙簿畫(huà)出了這個(gè)圖形(復(fù)制在圖13.3里)。這兩個(gè)角是沿著(直徑為一個(gè)單位的)內(nèi)接圓的切線切掉的，并且切線垂直于圓心與角的連線。“這是迄今為止的最佳解答嗎？”我問(wèn)道。賴?yán)麚u頭說(shuō)：“我聽(tīng)說(shuō)幾年前伊利諾斯大學(xué)的某個(gè)人又去掉了一小塊，但詳細(xì)情況就不知道了。”我們?cè)谟嗡噲?chǎng)里信步走著，來(lái)到了另一個(gè)展位前。那里有三顆碩大的骰子從一個(gè)波紋斜面上滾落到下面的平面。柜臺(tái)上標(biāo)著從1至6的巨大白色數(shù)字。參與的人愿意在哪個(gè)數(shù)字上押多少錢都行。骰子滾落以后，如果他押錢的數(shù)字出現(xiàn)在一顆骰子上，他就可以拿回賭注再加上與賭注同樣多的錢。如果這個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在兩顆骰子上，他不但拿回賭注，還可另得兩倍賭注的錢。如果三顆骰子上都是這個(gè)數(shù)字，他拿回賭注外，還可另得三倍賭注的錢。當(dāng)然如果賭的數(shù)字不出現(xiàn)。賭注就輸?shù)袅��！斑@個(gè)游戲怎么賺錢呢？”我問(wèn)道�！耙活w骰子出現(xiàn)某個(gè)數(shù)字的概率是÷，那么三顆骰子最少出現(xiàn)一次這個(gè)數(shù)的概率是3/6，即1/2。如果他賭的數(shù)字出現(xiàn)在不止一顆骰子上，他贏的倒比他押的錢還多。在我看來(lái)這個(gè)規(guī)則有利于參與者。”教授聽(tīng)罷輕聲笑起來(lái)。“我們就是要那幫糊涂蛋(mark，游樂(lè)團(tuán)俚語(yǔ)，指容易受騙的人)這么算。你再想想看。”我后來(lái)認(rèn)真考慮這個(gè)問(wèn)題時(shí)，大吃一驚。也許有些讀者愿意算算，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，他們每押一元錢，能期望得到多少。我離開(kāi)那里之前，賴?yán)麕胰チ艘粋�(gè)他稱之為“特色小吃攤”的地方吃點(diǎn)東西�？Х群芸焐蟻�(lái)了，可我想等三明治上來(lái)后再用�！澳阋胱尶Х缺３譅C燙的，”教授說(shuō)，“最好現(xiàn)在就把奶油倒進(jìn)去�？Х仍綘C，熱量損失的速度越快�！蔽翼槒牡匕涯逃偷惯M(jìn)咖啡里。教授的從正中間一切為二的火腿三明治上來(lái)后，他盯著它看了一會(huì)兒說(shuō)：“你是否碰巧看到過(guò)圖基和斯通寫(xiě)的那篇推廣的火腿三明治定理的論文？”“你指的是共同發(fā)現(xiàn)那些變臉折紙的圖基和斯通嗎？”“正是。”我搖頭說(shuō)道：“我對(duì)此一點(diǎn)情況也不了解。”賴?yán)帜贸鏊呐募埐�，在上面�?huà)了一條線段。“任何一維圖形可以用一個(gè)點(diǎn)等分，對(duì)嗎？”我點(diǎn)了點(diǎn)頭。這時(shí)他又畫(huà)了兩個(gè)不規(guī)則閉曲線和一條切割這兩個(gè)圖形的直線(見(jiàn)圖13.4)�！捌矫嫔系娜魏我粚�(duì)區(qū)域都能用一條直線等分，是嗎？”“我相信你的話。”“證明起來(lái)并不難。在庫(kù)蘭特(Richard(]ourant)與羅賓斯(HerbeItRobbi)合著的《數(shù)學(xué)是什么》(WhatIsMathematics)一書(shū)中就有一個(gè)基本證明。它利用了波爾查諾定理�！薄班�，是的，”我說(shuō)�！叭绻粋�(gè)關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)既有正值也有負(fù)值，那么它至少有一個(gè)零值�！薄安诲e(cuò)。它看起來(lái)微不足道，可是在各種各樣的存在性證明中，它是威力極大的一種工具。當(dāng)然這種證明并沒(méi)有告訴我們?cè)鯓觼?lái)畫(huà)這條線。它只證明存在這條線。”“那么火腿三明治是怎么回事？”“當(dāng)我們進(jìn)入三維空間時(shí)，處于任何位置的任意三個(gè)立體，無(wú)論其形狀和大小有多么古怪，其體積總是能被一個(gè)平面同時(shí)準(zhǔn)確地二等分，就像把兩片面包夾著一片火腿一起二等分一樣。斯通和圖基把這個(gè)定理推廣到了所有維數(shù)的空間中。他們證明，總會(huì)存在一個(gè)超平面，可以把四維空間中任何位置的四個(gè)四維立體二等分，或把五維空間中任何位置的五個(gè)五維立體二等分，依次類推�！苯淌诙似鸨右伙嫸M，然后指著柜臺(tái)那邊的一堆炸面餅圈說(shuō)道：“說(shuō)起切割立體，你可以向你的讀者提出這個(gè)怪問(wèn)題。一個(gè)炸面餅圈同時(shí)被三個(gè)平面切過(guò)，最多能得到多少塊？這個(gè)問(wèn)題是我自己想出來(lái)的�！痹谛D(zhuǎn)木馬走音的汽笛風(fēng)琴聲中，我閉上眼睛想象著結(jié)果，但直到最后腦子發(fā)麻也未能想出眉目，就把問(wèn)題擱下了。P151-156
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