有人將分形和混沌理論譽為繼相對論和量子力學(xué)之后的20世紀物理學(xué)的第三次革命。本書首先描述了各種分形的基礎(chǔ)知識和特性，包括線性迭代產(chǎn)生的分形如分形龍、科和曲線等，以及非線性迭代產(chǎn)生的曼德勃羅集、朱利亞集等。通過這些例子，介紹了自相似性及分數(shù)維的概念。然后，遵循混沌現(xiàn)象發(fā)展的歷史，通過講述龐加萊的三體問題、洛倫茨的蝴蝶效應(yīng)等等故事和趣聞，將讀者帶進神奇混沌理論的天地中。再進一步通過對一個簡單混沌系統(tǒng)--邏輯斯蒂映射的探討，詳細介紹分岔理論、穩(wěn)定性、及費根鮑姆普適常數(shù)等概念。
本書后半部分，介紹了分形和混沌在各個領(lǐng)域的應(yīng)用及前景、分形和混沌的關(guān)系、以及與分形混沌密切相關(guān)而發(fā)展起來的非線性科學(xué)。
俗話說：“授人以魚不如授人以漁”，作為科普書，介紹知識固然重要，傳授科學(xué)研究之方法更為重要，本書極力體現(xiàn)這個宗旨。作者不僅介紹科學(xué)，還煞費苦心地重點介紹科學(xué)家作出重大發(fā)現(xiàn)時的思路歷程，帶領(lǐng)讀者一起思考，從前人的經(jīng)驗教訓(xùn)中得到深刻啟示，從而激發(fā)讀者的好奇心和創(chuàng)造力。
一本老少皆宜、文理兼容的科普讀物。圖文并茂，用輕松有趣的語言，加之通俗生動的圖解，來講述深奧難懂的科學(xué)理論。為廣大讀者剝開理論的堅果，使不同領(lǐng)域的人士，都能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)及物理學(xué)的無窮魅力。
作者簡介：
張?zhí)烊�，女，四川成都人。美國得克薩斯州奧斯汀大學(xué)理論物理博士，現(xiàn)住美國芝加哥。研究過黑洞輻射、費曼路徑積分、毫微微秒激光、高頻及微波通訊的EDA集成電路軟件等。發(fā)表專業(yè)論文三十余篇。2008年出版科普小說《新東方夜譚》；2010年11月出版懸疑小說《美國房客》。2012年開始，在科學(xué)網(wǎng)發(fā)表一系列科普博文，其文風(fēng)深入淺出，趣味盎然，且保持科學(xué)的嚴謹性，深得讀者喜愛。
目錄：
序一科學(xué)可以很有趣
序二玄機妙語話混沌
前言
第一篇：美哉分形
1.1：從分形龍談起
1.2：簡單分形
1.3：分數(shù)維是怎么回事？
1.4：再回到分形龍
1.5：大自然中的分形
1.6：分形之父的啟示
1.7：美妙的曼德勃羅集
1.8：美妙的朱利亞集
第二篇：奇哉混沌
2.1：拉普拉斯妖
2.2：洛倫茨的迷惑序一 科學(xué)可以很有趣
序二 玄機妙語話混沌
前言
第一篇：美哉分形
1.1：從分形龍談起
1.2：簡單分形
1.3：分數(shù)維是怎么回事？
1.4：再回到分形龍
1.5：大自然中的分形
1.6：分形之父的啟示
1.7：美妙的曼德勃羅集
1.8：美妙的朱利亞集
第二篇：奇哉混沌
2.1：拉普拉斯妖
2.2：洛倫茨的迷惑
2.3：奇異吸引子
2.4：蝴蝶效應(yīng)
2.5：超越時代的龐加萊
2.6：三體問題及趣聞
2.7：生命繁衍和混沌
2.8：有序到無序
2.9：混沌魔鬼不穩(wěn)定
第三篇：分形天使處處逞能
3.1：分形音樂
3.2：分形藝術(shù)
3.3：分形用于圖像處理
3.4：人體中的分形和混沌
第四篇：天使魔鬼一家人
4.1：萬變之不變
4.2：再回魔鬼聚合物
4.3：混沌游戲產(chǎn)生分形
4.4：混沌和山西拉面
第五篇：混沌魔鬼大有作為
5.1：單擺也混沌
5.2：混沌電路
5.3：大海撈針
5.4：混沌在通信中的應(yīng)用
第六篇：一生二，二生三，三生萬物
6.1：三生混沌
6.2：自組織現(xiàn)象
6.3：孤立子的故事
6.4：生命游戲
6.5：木匠眼中的月亮由真正懂科學(xué)的人以中文介紹科學(xué)，有長期的必要。而能將科學(xué)栩栩如生地介紹給公眾的作者，在中文世界還是鳳毛麟角，本書的作者張?zhí)烊鼐褪瞧渲兄�。如果您時間不夠不能全面閱讀，也不妨將這本書放在自己的書架上，也許不經(jīng)意可以影響親朋好友，也在中文世界推廣了科學(xué)和理性。
——北京大學(xué)教授 饒毅這本書是從物理的角度開始，用通俗易懂的語言和嫻熟的數(shù)學(xué)技巧剖析混沌的本質(zhì)，然后推而廣之，述及混沌在其它各學(xué)科的應(yīng)用。張?zhí)烊夭┦考扔泻苌畹膶W(xué)術(shù)造詣,又有入木三分的文筆，使得這本書既保持了科學(xué)的嚴謹性，令讀者開卷有益，收獲真知；又能深入淺出、趣味盎然、引人入勝。
——中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院教授 程代展愛好科學(xué)的年輕人最需要知道的不是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，而是新思想的靈感來自何處？本書不僅僅是介紹那些耀眼的新思想，更是讓讀者了解發(fā)現(xiàn)新思想的源動力。
——科學(xué)網(wǎng)網(wǎng)友 Kevin 序科學(xué)可以很有趣北大教授 饒毅雖然科學(xué)進入中國已幾百年，但恐怕還很難說中國是一個普遍理解科學(xué)的國度。如果科學(xué)真深入了中國文化，就難以解釋為什么即使是今天，中國民眾也還經(jīng)常誤讀科學(xué)、甚至在極端少數(shù)人推動下，可以出現(xiàn)反科學(xué)的思潮。由真正懂科學(xué)的人以中文介紹科學(xué)，有長期的必要。而能將科學(xué)栩栩如生地介紹給公眾的作者，在中文世界還是鳳毛麟角，本書的作者張?zhí)烊鼐褪瞧渲兄�。她的文筆也許有助于改善中國很多人只注重科學(xué)的功用而不欣賞科學(xué)的趣味的問題。張?zhí)烊厥俏覈裘赖奈锢聿┦俊Ｋ钗锢淼臅r代，是我國青年對物理學(xué)趨之若鶩的時代。本來也喜歡物理、后來卻念了醫(yī)學(xué)再轉(zhuǎn)生物的我，對此深有體會。我自己喜歡科學(xué)，也喜歡了解其他學(xué)科，十幾年來也寫科學(xué)介紹，所以對張?zhí)烊氐目破崭怯芍缘呐宸�。張博士的文章，不僅把科學(xué)講的很透徹，而且豐富多彩，引人入勝，是科學(xué)普及的極佳材料。我希望不僅青少年，而且愛好科學(xué)、崇尚智力、推崇理性的成年人都成為張博士的讀者。如果您時間不夠不能全面閱讀，也不妨將這本書放在自己的書架上，也許不經(jīng)意可以影響親朋好友，也在中文世界推廣了科學(xué)和理性。玄機妙語話混沌中國科學(xué)院教授程代展自從Lorenz20世紀60年代偶爾由數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來,混沌理論在許多領(lǐng)域中得到迅猛的發(fā)展.混沌以其千姿百態(tài)的分形與吸引子,以及難以捉摸的蝴蝶效應(yīng),令人感到一種縹緲虛幻的玄妙和一絲撲朔迷離的詭異.“混沌理論”最早起源于物理學(xué)家的研究，但卻不是正統(tǒng)物理學(xué)的范圍，它當然也不是正統(tǒng)數(shù)學(xué)理論,它可算是在許多領(lǐng)域都能應(yīng)用的邊緣學(xué)科.每個學(xué)科的人都以不同的方式來理解它。搞生物的人用它分析生物體的結(jié)構(gòu)和生命的進化；搞經(jīng)濟的人用它探索金融股市的規(guī)律；作數(shù)學(xué)的則更多地將它與非線性及微分方程穩(wěn)定性理論等聯(lián)系起來.這本書是從物理的角度開始，應(yīng)用通俗易懂的語言和嫻熟的數(shù)學(xué)技巧剖析混沌的本質(zhì),然后推而廣之,述及混沌在其它各學(xué)科的應(yīng)用.要寫好一本通俗讀物,有兩點是很重要的:一是對該學(xué)科的深刻理解,沒有這種理解就會把通俗讀物混同幻想小說;二是文筆的生動流暢,否則會寫成簡版的教科書.張?zhí)烊夭┦考扔泻苌畹膶W(xué)術(shù)造詣,又有入木三分的文筆,使得這本書既保持了科學(xué)的嚴謹性,令讀者開卷有益,收獲真知;又能深入淺出、趣味盎然、引人入勝.張博士系文革中大學(xué)畢業(yè)生,是我當年第一屆科學(xué)院研究生院的同學(xué),后來在美國德克薩斯州奧斯汀大學(xué)獲物理學(xué)博士,與我經(jīng)歷相似.細讀該書,為之感動,故不揣孤陋,以為序.2.1﹕拉普拉斯妖“很多文章中，分形總是和混沌連在一起，現(xiàn)在，我對分形好像學(xué)到了不少，但卻還完全不知道混沌是什么��？你們知道嗎？”王二問兩位師兄。張三也說：“分形的確太奇妙了，特別是計算機產(chǎn)生的圖像，真可算是一門特別的藝術(shù)！不過我還沒有看出來它和我們學(xué)的科學(xué)有什么關(guān)系�。俊崩钏目飚厴I(yè)了，正在準備考某某教授的研究生，說那個X教授做的課題與混沌有關(guān)。因此，最近讀了一些分形以及混沌理論相關(guān)的書和文章。什么叫‘混沌’？要用一個簡單的方法來講清楚‘混沌理論’是很困難的。不過，我們的老祖宗早就使用了‘混沌’這個詞來描述和表達中國古代人的宇宙觀：“天地混沌如雞子，盤古生其中。”盤古開天地是我們十分熟悉的神話，無愧于中國幾千年的文明，我們的祖先早就認識到我們有序的文明社會是誕生于混沌之中：“天地混沌如雞子”，有點像現(xiàn)代物理學(xué)所描述的‘宇宙大爆炸’后的世界。不過,‘盤古開天地’的故事只說了一半，說的是有關(guān)我們的過去的那一半。就算宇宙的過去是天地混沌一片吧。宇宙的未來如何呢？預(yù)測未來總是比探討過去更具誘惑力和實用性。不是嗎？氣象預(yù)報讓你能未雨綢繆；預(yù)測股市的走向可能使你發(fā)大財；研究未來的學(xué)者文人頗受人尊重；還有那些張大師、李大師之流，也得靠自稱有先知先覺的功能，來蒙蔽人們，招搖撞騙。我們將要解釋的‘混沌理論’，就與預(yù)測未來有點關(guān)系。其實，科學(xué)的目的之一就是要解釋世界，放眼未來。問題是這些“未來事件”在什么條件下可以被預(yù)測？在多大程度上可以被預(yù)測？先見之明者能有多遠的眼光？預(yù)測的準確性又如何？常言道:“人有旦夕禍福，天有不測風(fēng)云”，利用今后日新月異的科學(xué)技術(shù)，是否就能完全預(yù)知將要發(fā)生的“旦夕禍�！迸c“不測風(fēng)云”，及未來的一切了呢？這一類有關(guān)“將來”的問題，用如今學(xué)術(shù)的語言來說，叫做：“研究一個動力系統(tǒng)的長期行為”。1975年，美國數(shù)學(xué)家約克，和他的華裔研究生李天巖，將“混沌”這個詞賦予科學(xué)的定義，用以描述某些系統(tǒng)長時期觀察時表現(xiàn)的奇異行為。因此，這里我們將討論的混沌理論，有別于通常意義的“混沌”，有別于盤古開天地時的混沌。它探索的課題，與“世界的可知/不可知”這類哲學(xué)問題有關(guān)……張三見李四好像準備要夸夸其談地大談?wù)軐W(xué)，耐不住了，說：“我可看不出來，你講的這些混沌哲學(xué)，與我們了解的分形有什么關(guān)系呢？”李四叫他別急，慢慢聽下去吧。剛才我們不是說過，混沌理論是研究一個動力系統(tǒng)的長期行為嗎？你們應(yīng)該還記得曼德勃羅圖是怎么畫出來的吧，那時我們考慮的不就是一個非線性方程，在進行無限次迭代后，結(jié)果產(chǎn)生的不同行為嗎？對于不同的初始值，無限次迭代后結(jié)果將不一樣，有些跑到無窮遠處，有些保持有限數(shù)值。在分形中的“無限次迭代后的行為”，就相當于這兒混沌理論中所說的“長期行為”��！兩個朋友有些開竅，王二興奮起來：“啊，原來是這么回事！對，‘無限次迭代’就是生物中的代代相傳，有繼承自相似性的遺傳，也有因隨機偶然因素引起的變異，一代又一代綿延下去……”張三也有所領(lǐng)悟：“那么，我在寫分形程序時所用的迭代方程，就是相應(yīng)于混沌理論中所說的物理系統(tǒng)遵循的規(guī)律了，比如說，牛頓定律？從牛頓定律也可能得出混沌嗎……對了，聽說有個三體問題……”對��！這就是為什么我們還得扯到牛頓那個時代，還得扯到哲學(xué)，李四得意洋洋地繼續(xù)講下去。我們的世界到底是決定的，還是非決定的？是可預(yù)測的，還是不可預(yù)測的？這一直是令古今中外的學(xué)者、哲人們困惑、爭論的基本問題。三百多年前牛頓力學(xué)的誕生是科學(xué)史上的一個重要的里程碑。牛頓主義的因果律和機械決定論認為：世界是可以精確預(yù)測的。根據(jù)牛頓物理學(xué)，宇宙似乎可以被想象成一個巨大的機器，其中的每種事件都是有序的、規(guī)則的及可預(yù)測的。牛頓三大定律似乎放之四海而皆準，用于萬物無不可。運動方程有了，只要初始條件給定了，物體的運動軌跡則應(yīng)該完全可知、可預(yù)測，直到宇宙毀滅的那一天�？梢韵胂螅环鶝Q定論的、簡單的、井井有條的、可預(yù)測的、似乎已經(jīng)完美無缺的理論體系和世界圖景是何等誘人，它使當年的科學(xué)界歡呼雀躍、陶醉不已。以至于連神學(xué)界主宰一切的上帝之類也想來插上一手。因此，牛頓力學(xué)的時代，宿命論、神秘主義甚囂一時。天才的牛頓也未能免俗，認為造物主實在偉大非凡，造出的世界精妙絕倫、天衣無縫。因此，晚年的牛頓潛心研究神學(xué)。牛頓走了，拉普拉斯來了。拉普拉斯也醉心牛頓力學(xué)完美的理論體系，他把萬有引力定律應(yīng)用到整個太陽系，研究太陽系及其它天體的穩(wěn)定性問題，被譽為“天體力學(xué)之父”。不過，和牛頓不一樣，拉普拉斯并不將功勞歸之于上帝，而是把上帝趕出了宇宙。拿破侖看過拉普拉斯所寫的《天體力學(xué)》一書之后，奇怪其中為何只字未提上帝？拉普拉斯自豪地說了一句話，令拿破侖目瞪口呆。拉普拉斯說：“我不需要上帝這個假設(shè)！”。 圖(2.1.1)宣稱決定論的拉普拉斯拉普拉斯不信上帝，卻仍然堅信決定論。他不需要假設(shè)上帝存在而造出了宇宙，但他卻假設(shè)有某個‘智能者’，后人稱之為‘拉普拉斯妖’的東西，能完全計算出宇宙的過去和未來。當年的阿基米德對國王說：“給我一個支點，我能推動地球！”。拉普拉斯仿效阿基米德的口氣，對世人立下這樣的豪言壯語：“假設(shè)能知道宇宙中每個原子現(xiàn)在的確切位置和動量，‘智能者’便能根據(jù)牛頓定律，計算出宇宙中事件的整個過程！計算結(jié)果中，過去和未來都將一目了然！”過去和未來，盡在拉普拉斯妖的掌控之中，這代表了拉普拉斯信奉的決定論哲學(xué)。不可否認,決定論的牛頓力學(xué)迄今為止取得了、也必將繼續(xù)取得輝煌的成就。它是人類揭開宇宙奧秘，尋找大自然秩序的漫漫長途上的第一個偉大的里程碑。它曾用簡單而精確的計算結(jié)果,預(yù)測了海王星、冥王星的存在及其它天體的運動;又以普適而優(yōu)美的數(shù)學(xué)表述，對各種地面物體的復(fù)雜現(xiàn)象做出了統(tǒng)一的解釋。借助牛頓力學(xué),人類發(fā)明了各類機械設(shè)備、設(shè)計了各種運載火箭,并把航天飛機送到了宇宙空間�？v觀周圍環(huán)繞我們的事物:穿梭于云層里的飛機、高速公路上飛駛的汽車、城市中高聳入云的摩天大樓、遍布全球的鐵路橋梁,無一不包含著牛頓力學(xué)的功勞。繼拉普拉斯之后，19世紀物理學(xué)發(fā)現(xiàn)的不可逆過程、熵增加定律等，已經(jīng)使得拉普拉斯妖的預(yù)言成為不可能。再以后，量子力學(xué)中的不確定原理，以及混沌理論所展示的、確定性系統(tǒng)出現(xiàn)內(nèi)在“隨機過程”的可能性，更是給了決定論致命的一擊�！盁o可奈何花落去,似曾相識燕歸來”。任何理論都不無例外地有其局限性。20世紀初期的量子物理和相對論的發(fā)展打破了經(jīng)典力學(xué)的天真。相對論挑戰(zhàn)了牛頓的絕對時空觀,量子力學(xué)則質(zhì)疑微觀世界的物理因果律。根據(jù)量子力學(xué)中海森堡的測不準原理，在同一時刻，你不可能同時獲知某個粒子的精確位置和它的精確動量。你也不能分兩步來測量，因為對于微觀世界而言，測量本身就已經(jīng)改變了被測量物的狀態(tài)。所以拉普拉斯所需要的數(shù)據(jù)是不可能精確得到的，自然也不可能存在可以預(yù)知一切的物理學(xué)理論。量子力學(xué)的規(guī)律揭示了微觀世界的不可預(yù)測性，混沌理論則從根本上否定了事件的確定性，把非決定論推至成熟�；煦绗F(xiàn)象表明，避開微觀世界的量子效應(yīng)不說,即使在只遵循牛頓定律的、通常尺度下的、完全決定論的系統(tǒng)中，也可以出現(xiàn)隨機的行為。除了廣泛存在的外在隨機性之外，確定論系統(tǒng)本身也普遍具有內(nèi)在的隨機性。也就是說,混沌能產(chǎn)生有序，有序中也能產(chǎn)生隨機的、不可預(yù)測的混沌結(jié)果。即使某些決定的系統(tǒng)，也表現(xiàn)出復(fù)雜的、奇異的、非決定的、不同于經(jīng)典理論可預(yù)測的那種長期行為。從另一個角度說，混沌理論揭示了有序與無序的統(tǒng)一、確定性與隨機性的統(tǒng)一，使得決定論和概率論,這兩大長期對立，互不相容,對于統(tǒng)一的自然界的描述體系之間的鴻溝正在逐步消除。有人將混沌理論與相對論、量子力學(xué)同列為二十世紀的最偉大的三次科學(xué)革命,認為牛頓力學(xué)的建立標志著科學(xué)理論的開端,而包括相對論、量子物理、混沌理論三大革命的完成,則象征著科學(xué)理論的成熟。 2.2﹕洛倫茨的迷惑李四洋洋灑灑地高談闊論了一番，張三笑起來了，說李四犯了和他的物理界老祖宗們一樣的毛病，把物理當成哲學(xué)了。物理畢竟不是哲學(xué)，你還是給我們講一些具體點的東西吧，講與你的那個X教授做的課題有點關(guān)系的。李四扶正了帶著的深度近視眼鏡，仍然不緊不慢的，一邊打開一本書，一邊說，這不馬上就要進到正題了嗎：經(jīng)典力學(xué)為何導(dǎo)出了決定論?混沌理論又是怎樣證明一個決定論的系統(tǒng)也可以出現(xiàn)隨機的行為的呢?你們看，當我們翻開任何一本關(guān)于混沌數(shù)學(xué)的書,差不多都能看到與圖（2.2.1）類似的圖案。那是混沌理論的著名標簽：洛倫茨吸引子【C】。 圖（2.2.1）：洛倫茨吸引子【C】“什么是‘吸引子’��？”王二問。李四摸了摸大腦袋說：“你的問題提得好啊，不過，‘吸引子’這個題目超前了一點兒，以后再講。今天，我先講講這個圖的來由，講講洛倫茨的工作吧……”愛德華?洛倫茨（1917-2008）是一位在美國麻省理工學(xué)院做氣象研究的科學(xué)家。上世紀的60年代初,他試圖用計算機來模擬影響氣象的大氣流。當時，他用的還是由真空管組成的計算機，那是一個充滿整間實驗室的龐然大物啊。我想，那機器雖然大，計算速度還遠不及我們現(xiàn)在用的這些電腦吧。所以，可想而知，洛倫茨沒日沒夜的，工作得很辛苦。嚴謹?shù)目茖W(xué)家不放心只算了一次的結(jié)果,決定再作一次計算。為了節(jié)約一些時間,他對計算過程稍微作了些改變，決定利用一部分上次得到的結(jié)果,省略掉前一部分計算。因此，那天晚上，他辛辛苦苦地工作到深夜，直接將上一次計算后的部分數(shù)據(jù)一個一個打到輸入卡片上，再送到計算機中。好，一切就緒了，開始計算！洛倫茨才放心的回家睡大覺去了。第二天早上，洛倫茨興致勃勃地來到MIT計算機房，期待他的新結(jié)果能驗證上一次的計算�？墒�，這第二次計算的結(jié)果令洛倫茨大吃一驚：他得到了一大堆和第一次結(jié)果完全不相同的數(shù)據(jù)！換句話說，結(jié)果1和結(jié)果2千差萬別！這是怎么回事呢？洛倫茨只好再計算一次，結(jié)果仍然如此。又再回到第一種方法，計算后得到原來的結(jié)果1。洛倫茨翻來覆去地檢查兩種計算步驟，又算了好幾次，方法1總是給出結(jié)果1，方法2總是給出結(jié)果2。兩種結(jié)果如此大大不同，必定是來自于兩種方法的不同。但是，兩種方法中，最后的計算程序是完全一樣的，唯一的差別是初始數(shù)據(jù)：第一種方法用的是計算機中存儲的數(shù)據(jù)，而第二種方法用的是洛倫茨直接輸入的數(shù)據(jù)。這兩組數(shù)據(jù)應(yīng)該一模一樣��！洛倫茨經(jīng)過若干次的檢查和驗證，盯著一個一個的數(shù)字反反復(fù)復(fù)看。啊，終于看到了。兩組數(shù)據(jù)的確稍微有所不同，若干個數(shù)據(jù)中，有那么幾個數(shù)字，被四舍五入后，有了一個微小的差別。難道這么微小的差別（比如，.000127）就能導(dǎo)致最后結(jié)果如此大的不同嗎？洛倫茨百思而不解。 圖（2.2.2）：實線和虛線分別是洛侖茲的兩次計算過程：初始值的微小差別，導(dǎo)致最后的結(jié)果完全不同【48】。上面的示意圖中，顯示的是與洛倫茨氣象預(yù)報研究有關(guān)的結(jié)果。其中橫坐標表示時間，縱坐標表示洛倫茨所模擬，也就是想要預(yù)報的氣候中的某個參數(shù)值，比如說，大氣氣流在空間某點的速度、方向，或者是溫度、濕度、壓力之類的變量等等。根據(jù)初始值以及描述物理規(guī)律的微分方程，洛倫茨對這些物理量的時間演化過程進行數(shù)字模擬，以達到預(yù)報的目的。但是，洛倫茨發(fā)現(xiàn)，初始值的微小變化，會隨著時間增加而被指數(shù)放大，如果初始值稍稍變化，就使得結(jié)果大相徑庭的話，這樣的預(yù)報還有實際意義嗎？王二似乎恍然大悟：“啊，難怪氣象臺播的氣象預(yù)報經(jīng)常都不準，招來罵聲一片，看來他們也有他們的苦衷��！”張三說，圖（2.2.2）這個曲線的意思比較容易理解，但是那個圖（2.2.1）是怎么得來的啊？我看它沒完沒了的繞圈圈，這與洛倫茨的氣象預(yù)報計算有什么關(guān)系呢？李四說，慢慢聽，當然有關(guān)系！當時的洛倫茨雖然甚感迷惑，卻未必見得認識到了這個偶然發(fā)現(xiàn)的重要性,也不一定能想到與此相關(guān)的‘混沌型’解將在非線性動力學(xué)中掀起一場軒然大波。盡管如此，洛倫茨畢竟是一位數(shù)學(xué)訓(xùn)練有素的科學(xué)家。實際上，洛倫茨年輕時在哈佛大學(xué)主修數(shù)學(xué)，只是因為后來爆發(fā)了第二次世界大戰(zhàn)，他才服務(wù)于美國陸軍航空隊，當了一名天氣預(yù)報員。沒想到經(jīng)過戰(zhàn)爭中這幾年與氣象打交道的生涯，洛倫茨喜歡上了這個專業(yè)。戰(zhàn)后，他便改變方向，到MIT專攻氣象預(yù)報理論，之后又成為了MIT的教授。他要利用他的數(shù)學(xué)頭腦，還有當時剛剛初露鋒芒的計算機和數(shù)字計算技術(shù)，來更準確地預(yù)測天氣，這是洛倫茨當時夢寐以求的理想。可是，這兩次計算結(jié)果千差萬別，這種結(jié)果對初始值的分外敏感性給了洛倫茨的美好理想當頭一棒！使洛倫茨覺得自己在氣象預(yù)報工作中似乎顯得山窮水盡、無能為力。為了走出困境，他繼續(xù)深究下去。然而，越是深究下去，越是使洛倫茨不得不承認他的“準確預(yù)測天氣”的理想是實現(xiàn)不了的！因為當他研究他的微分方程組的解的穩(wěn)定性時，發(fā)現(xiàn)一些非常奇怪和復(fù)雜的行為。洛倫茨以他非凡的抽象能力,將氣象預(yù)報模型里的上百個參數(shù)和方程,簡化到如下一個僅有三個變量及時間的、系數(shù)完全決定了的微分方程組。dx/dt=10(y-x) （2.2.1）dy/dt=R*x–y–xz （2.2.2）dz/dt=(8/3)z+xy （2.2.3）這兒方程組中的x,y,z，并非任何運動粒子在三維空間的坐標，而是三個變量。這三個變量由氣象預(yù)報中的諸多物理量，如流速、溫度、壓力等等簡化而來。方程（2.2.2）中的R在流體力學(xué)中叫做瑞利數(shù)，與流體的浮力及粘滯度等性質(zhì)有關(guān)。瑞利數(shù)的大小對洛侖茲系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生至關(guān)重要，以后還要談到。這是一個不能用解析方法求解的非線性方程組。洛侖茲將瑞利數(shù)R=28，然后，利用計算機進行反復(fù)迭代,即首先從初始時刻x、y、z的一組數(shù)值x0、y0、z0，計算出下一個時刻它們的數(shù)值x1、y1、z1，再算出下一個時刻的x2、y2、z2……如此不斷地進行下去。將逐次得到的x、y、z瞬時值,畫在三維坐標空間中，這便描繪出了圖（2.2.1）的奇妙而復(fù)雜的‘洛倫茨吸引子’圖。2.3﹕奇異吸引子現(xiàn)在回到王二的問題：什么叫吸引子？或者說，什么叫‘動力系統(tǒng)’的吸引子？還有張三的問題，那個圖中繞圈圈的軌道是怎么回事？我們首先得弄清楚‘系統(tǒng)’這個概念。什么是‘系統(tǒng)’呢?簡單地說,系統(tǒng)是一種數(shù)學(xué)模型。是一種用以描述自然界及社會中各類事件的,由一些變量及數(shù)個方程構(gòu)成的一種數(shù)學(xué)模型。世界上的事物盡管千變?nèi)f化,繁雜紛紜,但在數(shù)學(xué)家們的眼中,在一定的條件下,都不外乎是由幾個變量和這些變量之間的關(guān)系組成的‘系統(tǒng)’。在這些‘系統(tǒng)’模型中,變量的數(shù)目或多或少,服從的規(guī)律可簡可繁,變量的性質(zhì)也許是確定的,也許是隨機的,每個系統(tǒng)又可能包含另外的‘子系統(tǒng)’。由‘系統(tǒng)’性質(zhì)之不同，又有了諸如‘決定性的系統(tǒng)’、‘隨機系統(tǒng)’、‘封閉系統(tǒng)’、‘開放系統(tǒng)’、‘線性系統(tǒng)’、‘非線性系統(tǒng)’、‘穩(wěn)定系統(tǒng)’、‘簡單系統(tǒng)’、‘復(fù)雜系統(tǒng)’等等一類的名詞。例如:地球環(huán)繞太陽的運動,可近似為一個簡單的二體系統(tǒng)；密閉罐中的化學(xué)反應(yīng),可當成趨于穩(wěn)定狀態(tài)的封閉系統(tǒng)；每一個生物體，都是一個自適應(yīng)的開放系統(tǒng)；人類社會，股票市場，則可作為復(fù)雜的、隨機性系統(tǒng)的例子。無論是何種系統(tǒng)，大多數(shù)的情形下，我們感興趣的是系統(tǒng)對時間的變化，稱其為‘動力系統(tǒng)’研究。這是理所當然的，誰會去管那種固定不變的系統(tǒng)呢？研究系統(tǒng)對時間變化的一個有效而直觀的方法就是利用系統(tǒng)的‘相空間’，一個系統(tǒng)中的所有獨立變量構(gòu)成的空間叫做系統(tǒng)的‘相空間’。相空間中的一個點，確定了系統(tǒng)的一個‘狀態(tài)’，對應(yīng)于一組給定的獨立變量值。研究狀態(tài)點隨著時間在相空間中的‘運動’情形，則可看出系統(tǒng)對時間的變化趨勢，以觀察混沌理論中最感興趣的‘動力系統(tǒng)的長期行為’。狀態(tài)點在相空間中運動，最后趨向的極限圖形，就叫做該系統(tǒng)的‘吸引子’。換句通俗的話說，吸引子就是一個系統(tǒng)的‘最后歸屬’。舉幾個簡單例子，更易于說明問題。一個被踢出去的足球，在空中飛了一段距離之后，掉到地上，又在草地上滾了一會兒，然后靜止停在地上，如果沒有其它情況發(fā)生，靜止不動就是它的最后歸屬。因此，這段足球運動的吸引子，是它的相空間中的一個固定點。人造衛(wèi)星離開地面被發(fā)射出去之后，最后進入預(yù)定的軌道，繞著地球作二維周期運動，它和地球近似構(gòu)成的二體系統(tǒng)的吸引子，便是一個橢圓。兩種顏色的墨水被混合在一起，它們經(jīng)過一段時間的擴散，互相滲透，最后趨于一種均勻混合的動態(tài)平衡狀態(tài)，如果不考慮分子的布朗運動，這個系統(tǒng)的最后歸屬-吸引子，也應(yīng)該是相空間的一個固定點。在發(fā)現(xiàn)‘混沌現(xiàn)象’之前，也可以粗略地說，在洛倫茨研究他的系統(tǒng)的最后歸屬之前，吸引子的形狀可歸納為如下左圖所示的幾種‘經(jīng)典吸引子’，也稱‘正常吸引子’： 圖（2.3.1）經(jīng)典吸引子和奇異吸引子第一種是穩(wěn)定點吸引子，這種系統(tǒng)最后收斂于一個固定不變的狀態(tài)；第二種叫極限環(huán)吸引子，這種系統(tǒng)的狀態(tài)趨于穩(wěn)定振動，比如天體的軌道運動；第三種是極限環(huán)面吸引子，這是一種似穩(wěn)狀態(tài)。如圖（2.3.1）左圖所示，一般地說，對應(yīng)于系統(tǒng)的方程的解的經(jīng)典吸引子是相空間中一個整數(shù)維的子空間。例如：固定點是一個零維空間；極限環(huán)是一個一維空間；而面包圈形狀的極限環(huán)面吸引子則是一個二維空間。鐘擺是個簡單直觀的例子。任何一個擺，如果不給它不斷地補充能量的話，最終都會由于摩擦和阻尼，而停止下來。也就是說，系統(tǒng)的最后狀態(tài)是相空間中的一個點。因此，這種情況下的吸引子是第一種：固定點。如果擺有能量來源，像掛鐘，有發(fā)條，或電源，不停下來的話，系統(tǒng)的最后狀態(tài)是一種周期性運動。這種情況下的吸引子就是第二種：極限環(huán)。剛才我說的擺，都只是在一個方向擺動，設(shè)想有一個擺，如果除了左右擺動之外，上面加了一個彈簧，于是就又多了一個上下的振動，這就形成了擺的耦合振蕩行為，具有兩個振動頻率。王二反應(yīng)快：“哦，明白了！第三種，極限‘面包圈吸引子’就是對應(yīng)于好幾個頻率的情形。”王二喜歡自作聰明，得意地說�？墒牵瑥埲齾s反駁：“好像不完全是這樣。在大學(xué)一年級“普通物理”中學(xué)過的，如果這兩個頻率的數(shù)值成簡單比率的關(guān)系，也就是說，兩個頻率的比值是一個有理數(shù)，那在實質(zhì)上仍然是周期性運動，吸引子仍是第二種：歸于極限環(huán)那種。如果這兩個頻率之間不成簡單比率關(guān)系，也就是說，比值是一個無理數(shù)，就是那種小數(shù)表達式包含無窮多位，并且沒有重現(xiàn)的模式的數(shù)。當組合系統(tǒng)具有無理頻率比值時，代表組合系統(tǒng)的相空間中的點環(huán)繞環(huán)面旋轉(zhuǎn)，自身卻永遠不會接合起來。這樣的系統(tǒng)看起來幾乎是周期的，卻永遠不會精確地重復(fù)自身，被稱作‘準周期的’，但是，運動軌道總是被限制在一個面包圈上，這就應(yīng)該對應(yīng)于圖中的第三種情形�！笨偠灾蒙鲜鋈N吸引子描述的自然現(xiàn)象還是相當規(guī)則的。這些是屬于經(jīng)典理論的吸引子，根據(jù)經(jīng)典理論，初始值偏離一點點，結(jié)果也只會偏離一點點。因此，科學(xué)家甚至可以提前相當長的時間預(yù)測極復(fù)雜的系統(tǒng)的行為。這一點，是‘拉普拉斯妖’決定論的理論基礎(chǔ)，也是洛侖茲夢想進行長期天氣預(yù)報的根據(jù)。但是，從兩次計算的巨大偏差，洛侖茲感到情況不妙，于是，才想到了把他的計算結(jié)果畫出來。也就是將上一章中給出的三個方程（2.2.1-3）中x、y、z對時間的變化曲線，畫到了三維空間中，看看它到底是三種吸引子中的哪一種？這一畫就畫出了一片新天地！因為洛侖茲怎么也不能把他畫出的圖形歸類到任何一種經(jīng)典吸引子�？纯醋约寒嫵龅膱D形，即圖（2.3.1）的右圖，洛侖茲覺得這個系統(tǒng)的長期行為十分有趣：似穩(wěn)非穩(wěn)，似亂非亂，亂中有序，穩(wěn)中有亂。這是一個三維空間里的雙重繞圖，軌線看起來是在繞著兩個中心點轉(zhuǎn)圈，但又不是真正在轉(zhuǎn)圈，像張三所說的，方程解的軌道，繞來繞去繞不出個名堂！因為它們雖然被限制在兩翼的邊界之內(nèi)，但又決不與自身相交。這意味著系統(tǒng)的狀態(tài)永不重復(fù)，是非周期性的。也就是說,這個具有確定系數(shù),確定方程,確定初始值的系統(tǒng)的解,是一個外表和整體上呈貌似規(guī)則而有序的兩翼蝴蝶形態(tài),而內(nèi)在卻包含了無序而隨機的混沌過程的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。當時，眼光不凡的洛倫茨準確地將此現(xiàn)象表述為‘確定性非周期流’。他的文章發(fā)表在1963年的《大氣科學(xué)》雜志上。2.4﹕蝴蝶效應(yīng)“圖（2.3.1）中，右邊的洛侖茲吸引子，看起來就顯然不同于那幾個經(jīng)典的。不屬于經(jīng)典理論的吸引子，就叫做奇異吸引子，對吧？”張三問。對，但是我們還是得從數(shù)學(xué)上弄明白，奇異吸引子到底有哪些特別之處。我們在前一章中提到過：幾個經(jīng)典吸引子分別是0、1、2維的圖形。那你們看看，下面圖中這個畫在3維空間的洛侖茲吸引子像是多少維呢？“多少維？”王二眼睛一亮：“這個維數(shù)一定是個分數(shù)？” 圖（2.4.1）：洛倫茨吸引子是個2.06維的分形【C】張三想了想說：“等等，這個圖形的確像一個分形。但是分形的維數(shù)不一定就是分數(shù)。圖形雖然復(fù)雜，但是看起來，每個分支基本上都還是在各自的平面上轉(zhuǎn)圈圈�？偣彩莾蓚�平面，這個圖形可能還是2維。有點類似分形龍的圖形那樣，曲線繞來繞去，繞來繞去，最后充滿一部分面積……所以我猜是2維�！睆那皫渍聦Ψ中蔚慕榻B中,我們已經(jīng)知道:不僅有整數(shù)維的幾何圖形，也有分數(shù)維的幾何形狀存在。表現(xiàn)出‘混沌現(xiàn)象’的系統(tǒng)的吸引子-奇異吸引子，就是一種分形。整數(shù)維數(shù)的吸引子（正常吸引子）是光滑的周期運動解，分數(shù)維數(shù)的吸引子（奇異吸引子）則是相關(guān)于‘非線性系統(tǒng)’的非光滑的混沌解。圖（2.4.1）所示的洛倫茨吸引子的曲線,只是象征性地顯示了曲線的一部分。吸引子實際上是一個具有無窮結(jié)構(gòu)的分形。如讀者用本書最后給出的鏈接，到‘洛倫茨吸引子’程序,進一步觀察,則會發(fā)現(xiàn),狀態(tài)點,也就是洛倫茨系統(tǒng)的解,將隨著時間的流逝不重復(fù)地,無限次數(shù)地奔波于兩個分支圖形之間。有數(shù)學(xué)家仔細研究了洛倫茨吸引子的分形維數(shù)，得出的結(jié)果是2.06（+、-）0.01。從奇異吸引子的形狀及幾何性質(zhì)，我們看到了混沌和分形關(guān)聯(lián)的一個方面：分形是混沌的幾何表述。奇異吸引子不同于正常吸引子的另一個很重要特征是它對初始值的敏感性：前面一章中所說的三種經(jīng)典吸引子對初始值都是穩(wěn)定的，也就是說，初始狀態(tài)接近的軌跡始終接近，偏離不遠。而奇異吸引子中，初始狀態(tài)接近的軌跡之間的距離卻隨著時間的增大而指數(shù)增加。這就是為什么使得在數(shù)學(xué)上造詣頗深的洛倫茨迷惑的原因。因為他發(fā)現(xiàn)，用他的數(shù)學(xué)模型進行計算的結(jié)果大大地違背了經(jīng)典吸引子應(yīng)有的結(jié)論。因為給定初始值的一點點微小差別，將使得結(jié)果完全不同。這個敏感性體現(xiàn)在氣象學(xué)中，就是說：計算結(jié)果隨著被計算的天氣預(yù)報的時間,成指數(shù)地放大,在洛倫茨所計算的兩個月的預(yù)報之中,每隔四天的預(yù)報計算,差別就被放大一倍。因此，最后得到了顯然不同的結(jié)果。由此,洛倫茨意識到，‘長時期的氣象現(xiàn)象是不可能被準確無誤地預(yù)報的’。因為，計算結(jié)果證明：初始條件的極微小變化,可能導(dǎo)致預(yù)報結(jié)果的巨大差別。而氣象預(yù)報的初始條件,則由極不穩(wěn)定的環(huán)球的大氣流所決定。這個結(jié)論被他形象地稱為‘蝴蝶效應(yīng)’，用以形容結(jié)果對初值的極其敏感。意思是說，只是因為巴西的一只蝴蝶抖動了一下翅膀，而改變了氣象站所掌握的初始資料，三個月之后，就有可能引發(fā)美國德克薩斯州出乎意料之外地刮起一陣未曾預(yù)報到的龍卷風(fēng)。用中國人的術(shù)語來說，則叫做：‘差之毫厘,失之千里’也。 圖（2.4.2）：‘蝴蝶效應(yīng)’示意圖王二笑著說：“好像也有人說，叫做蝴蝶效應(yīng)是因為洛侖茲吸引子的圖看起來很像兩個抖動的蝴蝶翅膀。不管怎么樣，我喜歡這個名字，這個名字也啟發(fā)了文學(xué)藝術(shù)家們無限的想象，產(chǎn)生出不少作品……”‘洛倫茨吸引子’是第一個被深入研究的‘奇異吸引子’。洛倫茲模型是第一個被詳細研究過的可產(chǎn)生混沌的非線性系統(tǒng)。張三說：“具有‘奇異吸引子’的系統(tǒng)應(yīng)該是比較少的特例吧？我記得在洛倫茨的方程組中有一個叫瑞利數(shù)的參數(shù)R，當R=28的時候，方程才有混沌解。在許多別的R值，哈哈，巴西的蝴蝶煽動不煽動翅膀都沒關(guān)系的！”可李四說，這是一個誤解。其實,象洛倫茨發(fā)現(xiàn)的這類具有‘奇異吸引子’的系統(tǒng)并非什么鳳毛麟角的例外，而是自然界隨處可見的極普遍的現(xiàn)象，是經(jīng)典力學(xué)所描述的事物的常規(guī)。然而，經(jīng)典力學(xué)已建立三百多年,為什么經(jīng)典系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象卻直到三十多年前才被發(fā)現(xiàn)呢?這其中的原因不外乎如下幾點:一是人們的觀念上總是容易被成熟的,權(quán)威的理論所束縛;二則又是與近二,三十年來計算機技術(shù)的飛速進展分不開的。洛倫茨吸引子被發(fā)現(xiàn)之后,許多類似的研究結(jié)果也相繼問世。有趣的是，各個領(lǐng)域的科學(xué)家還紛紛抱怨說他們早就觀測到諸如此類的現(xiàn)象了�？墒钱敃r，或是得不到上司的認可,或是文章難以發(fā)表,或是自己以為測量不夠精確,或是認為由于噪聲的影響,等等等等�？偠灾�，各種原因，使他們失去了千載難逢的第一個發(fā)現(xiàn)奇異吸引子，發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象的機會。王二提出一個使他迷惑的問題：“剛才說到：奇異吸引子的行為廣泛地存在于經(jīng)典力學(xué)所描述的現(xiàn)象中。這句話是什么意思��？奇異吸引子不是與經(jīng)典吸引子不同嗎？”李四說：“這兒，‘經(jīng)典’這個字用得有點混淆。本來，所謂經(jīng)典物理，是指有別于量子物理而言。奇異吸引子與量子物理是兩回事。比如說吧，洛倫茨得到的微分方程組，是從經(jīng)典物理理論、經(jīng)典力學(xué)規(guī)律得到的方程組。既不是隨機統(tǒng)計的，也與量子理論無關(guān)。但是，這種符合經(jīng)典理論的方程卻有混沌行為的解�！逼娈愇拥男袨閺V泛地存在于經(jīng)典力學(xué)所描述的現(xiàn)象中，存在于各類非線性系統(tǒng)中。由于‘奇異吸引子’和‘混沌行為’是非線性系統(tǒng)的特點，這些發(fā)現(xiàn)，又將非線性數(shù)學(xué)的研究推至高潮。上個世紀的八十年代，九十年代，各門傳統(tǒng)學(xué)科都在譜寫自己的非線性篇章，即使在人文，社會學(xué)的研究系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)了一批奇異吸引子和混沌運動的實例。因此，混沌理論的創(chuàng)立與牛頓的經(jīng)典理論發(fā)生沖突，給了決定論致命的一擊，拉普拉斯妖也無能為力了。張三卻仍然固執(zhí)己見，說：“蝴蝶效應(yīng)雖然說明了某些情況下，結(jié)果對初值非常敏感，但是，這并不等于就否定了決定論��！比如說到洛倫茨的天氣預(yù)報吧，由于混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生，目前的計算技術(shù)使他的誤差在四天后增加一倍，但是如果將來計算機的速度加快、精度提高，對初始值也測量得更準確，就可能使得誤差在四十天、或四百天后，才增加一倍，這不就等于能‘準確預(yù)報’了嗎？我覺得世界還是決定論的，只是計算及測量的精度問題……”王二不同意，但卻反駁不到點子上，他只是堅信決定論是不對的：“怎么可能像拉普拉斯妖所說那樣，這個世界，還有你、我、他，將來的一切都被決定了呢？我們?nèi)齻�人此時此刻說的每一句話都在大爆炸的那個時刻就決定了，這聽起來太荒謬絕倫了吧。事情的發(fā)展太多偶然因素，不可能都是命中注定的……”張三大笑：“你那天不是還在朗誦一首詩，說林零是你命中注定的愛人嗎……”王二急了：“唉，你不懂，那是情感的宣泄、文學(xué)的東西……不是科學(xué)……”李四則認為，數(shù)學(xué)解決不了決定論還是非決定論的問題。就物理學(xué)的角度而言，起碼有兩點證據(jù)，不支持決定論。一是已經(jīng)有100多年歷史的量子理論的發(fā)展。量子物理中的不確定原理表明：位置和動量不可能同時確定，時間和能量也不可能同時確定。因此，初始條件是不確定的，永遠不可能有所謂‘準確的初始條件’，當然，結(jié)果也就不可能確定。這是其一。另外，經(jīng)典的物理規(guī)律，大多數(shù)都是用微分方程組的數(shù)學(xué)模型來描述的。建立微分方程的目的，本來就是為了研究那些確定的、有限維的、可微的演化過程。因此，微分方程的理論是機械決定論的基礎(chǔ)。但是，微分方程組不一定就真是描述世界所有現(xiàn)象的最好方法，事實上，在牛頓力學(xué)以外的許多物理現(xiàn)象，不能只用微分方程來研究，而對大自然中廣泛存在的分形結(jié)構(gòu)、物理中的湍流、布朗運動、生命形成過程，等等，微分方程理論也是勉為其難，力不從心。既然作為決定論基礎(chǔ)的微分方程并不能用來解決世界的許多問題，“皮之不存，毛將焉附”�；A(chǔ)沒有了，決定論失去了依托，拉普拉斯妖還有話說嗎？恐怕只能躲在天國里唉聲嘆氣了！……
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