大眾對(duì)圖靈的認(rèn)識(shí)往往停留在二戰(zhàn)時(shí)期破解密碼拯救生命這個(gè)層面。對(duì)于圖靈在學(xué)術(shù)上的成就卻知之甚少。本書(shū)深入分析圖靈一生中*重要的論文《論可計(jì)算數(shù)及其在判定問(wèn)題上的應(yīng)用》，從科學(xué)的角度講述圖靈為什么重要，如果沒(méi)有圖靈，我們的世界將會(huì)怎樣。
本書(shū)簡(jiǎn)介：
1936年，24歲的圖靈發(fā)表了現(xiàn)代計(jì)算領(lǐng)域奠基性的論文《論可計(jì)算數(shù)及其在判定問(wèn)題上的應(yīng)用》。這篇論文堪稱(chēng)圖靈一生中最重要的貢獻(xiàn)。然而，大眾對(duì)圖靈的了解多停留在破解德國(guó)的著名密碼系統(tǒng)Enigma，幫助盟軍取得二戰(zhàn)的勝利上。對(duì)于數(shù)學(xué)家圖靈，人們往往知之甚少。 在本書(shū)中，作者深入分析了圖靈的這篇論文，讀者只需具備高中水平的數(shù)學(xué)知識(shí)，即可輕松讀懂這篇?jiǎng)潟r(shí)代的論文，了解其對(duì)現(xiàn)代計(jì)算發(fā)展的杰出貢獻(xiàn)。正如人工智能之父馬文•明斯基所說(shuō)，圖靈的論文有著超乎尋常的簡(jiǎn)潔性及數(shù)學(xué)之美。任何希望深入了解圖靈及其工作的讀者都不該錯(cuò)過(guò)這本書(shū)！
作者簡(jiǎn)介：
克里斯•伯恩哈特是美國(guó)費(fèi)爾菲爾德大學(xué)數(shù)學(xué)系的一位教授，他從數(shù)學(xué)的角度入手，研究圖靈的可計(jì)算數(shù)理論及現(xiàn)代計(jì)算的誕生，堪稱(chēng)圖靈理論最深入的研究者。
目錄：
前言//VII
第一章背景
數(shù)學(xué)的確定性//004
布爾邏輯//008
數(shù)學(xué)邏輯//010
邏輯機(jī)器//011
保衛(wèi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)//012
希爾伯特的方法//014
哥德?tīng)柦Y(jié)論//016
圖靈的結(jié)論//016
第二章一些不可判定的判定問(wèn)題
埃米爾•波斯特//025前言// VII 第一章背景數(shù)學(xué)的確定性//004布爾邏輯//008數(shù)學(xué)邏輯//010邏輯機(jī)器//011保衛(wèi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)//012希爾伯特的方法//014哥德?tīng)柦Y(jié)論//016圖靈的結(jié)論//016 第二章一些不可判定的判定問(wèn)題 埃米爾•波斯特 //025波斯特的對(duì)應(yīng)問(wèn)題 //026一個(gè)算法 //030含有更多符號(hào)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題 //032希爾伯特的第10個(gè)問(wèn)題//034停機(jī)問(wèn)題 //036劍橋的圖靈 //036 第三章有限自動(dòng)機(jī)有限自動(dòng)機(jī)//043我們的第一個(gè)機(jī)器//044字母表和語(yǔ)言//046有限自動(dòng)機(jī)和回答問(wèn)題//049問(wèn)題的否定//051忽略圖表中的陷阱//052一些基本事實(shí)//054正則表達(dá)式//057有限自動(dòng)機(jī)的瓶頸//062同樣數(shù)量的0和1//063平衡括號(hào)//064磁帶和配置//065聯(lián)系對(duì)應(yīng)問(wèn)題//067 第四章圖靈機(jī) 有限自動(dòng)機(jī) //043我們的第一個(gè)機(jī)器 //044字母表和語(yǔ)言 //046有限自動(dòng)機(jī)和回答問(wèn)題 //049問(wèn)題的否定 //051忽略圖表中的陷阱 //052一些基本事實(shí) //054正則表達(dá)式 //057有限自動(dòng)機(jī)的瓶頸 //062同樣數(shù)量的0和1 //063平衡括號(hào) //064磁帶和配置 //065聯(lián)系對(duì)應(yīng)問(wèn)題 //067圖靈機(jī)的例子 //079可計(jì)算函數(shù)和計(jì)算 //088邱奇—圖靈論題 //090計(jì)算能力 //092多項(xiàng)式時(shí)間 //093非確定性圖靈機(jī) //095不會(huì)停機(jī)的機(jī)器 //097 第五章其他計(jì)算系統(tǒng)λ積分//106皮亞諾算術(shù)//108λ積分和函數(shù)//109算術(shù)//110邏輯//112標(biāo)簽系統(tǒng)//114一維元胞自動(dòng)機(jī)//119第六章編碼和通用機(jī)器編碼有限自動(dòng)機(jī)的方法//129通用機(jī)器//133設(shè)計(jì)通用機(jī)器//136現(xiàn)代計(jì)算機(jī)是圖靈機(jī)//138馮•諾依曼結(jié)構(gòu)//140隨機(jī)存取機(jī)器//142圖靈機(jī)能夠模擬RAM//145其他通用機(jī)器//147當(dāng)我們把〈M〉輸入M的時(shí)候會(huì)發(fā)生什么//149第七章不可判定的問(wèn)題 矛盾證明法 //155羅素的理發(fā)師 //158不接納自己的編碼的有限自動(dòng)機(jī) //161不接納自己的編碼的圖靈機(jī) //162“圖靈機(jī)是否會(huì)在自己的編碼上偏離”是不可判定的 //164接納、停機(jī)和空白磁帶問(wèn)題 //166一個(gè)不可計(jì)算函數(shù) //168圖靈的方法 //170 第八章康托爾的對(duì)角論證法 基數(shù) //177有理數(shù)的子集擁有相同的基數(shù) //179希爾伯特旅館 //182定義不完善的減法 //184一般對(duì)角論證 //184康托爾定理//186實(shí)數(shù)的基數(shù)//189對(duì)角論證法//193連續(xù)統(tǒng)假設(shè)//195計(jì)算的基數(shù)//195可計(jì)算數(shù) //197一個(gè)非可計(jì)算數(shù) //198存在可數(shù)數(shù)量的可計(jì)算數(shù) //199可計(jì)算數(shù)無(wú)法有效枚舉 //200 第九章圖靈的遺產(chǎn) 圖靈在普林斯頓大學(xué) //206克勞德•香農(nóng) //208第二次世界大戰(zhàn) //20920世紀(jì)40年代的計(jì)算機(jī)發(fā)展//213克蘭德•楚澤 //214莫奇利和艾克特 //214馮•諾依曼 //215圖靈測(cè)試 //218隕落 //221道歉和赦免 //223拓展閱讀// 227注釋// 231前言序言市面上的圖靈傳記不勝枚舉。英國(guó)演員德里克•雅各比（DerekJacobi）將他的形象帶上舞臺(tái)，本尼迪克特•康伯巴奇（BenedictCumberbatch）又在電影中進(jìn)行了重新演繹。艾倫•圖靈即便算不上家喻戶(hù)曉的名人，也算得上眾所周知的人物。很多人都知道，他在第二次世界大戰(zhàn)期間進(jìn)行的密碼破譯工作對(duì)盟軍最終戰(zhàn)勝德軍起到了關(guān)鍵作用。人們可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)，圖靈的一生以氰化物中毒悲慘而終，也有人聽(tīng)說(shuō)過(guò)他為判斷“計(jì)算機(jī)是否可以思考”而設(shè)計(jì)的測(cè)試�；蛟S并不那么有名的事實(shí)是計(jì)算機(jī)科學(xué)界的最高獎(jiǎng)項(xiàng)叫圖靈獎(jiǎng)（A.M.TuringAward）。這一獎(jiǎng)項(xiàng)被奉為計(jì)算界的諾貝爾獎(jiǎng)。每年國(guó)際計(jì)算機(jī)協(xié)會(huì)（AssociationforComputingMachinery，簡(jiǎn)稱(chēng)ACM）都會(huì)向在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域有杰出貢獻(xiàn)的人頒發(fā)圖靈獎(jiǎng)，并送上100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金。ACM以圖靈的名字命名了這一獎(jiǎng)項(xiàng)，是因?yàn)閳D靈被視作計(jì)算機(jī)科學(xué)的奠基人之一。他做了哪些幫助人類(lèi)構(gòu)建計(jì)算機(jī)科學(xué)的事情？答案就是1936年圖靈發(fā)表的一篇引人注目的論文，那時(shí)他只有24歲。這篇論文是圖靈最重要的知識(shí)貢獻(xiàn)。然而論文本身以及蘊(yùn)藏其中的開(kāi)創(chuàng)性觀點(diǎn)卻并沒(méi)有廣泛流傳。本書(shū)的內(nèi)容就圍繞這篇論文展開(kāi)。
這篇論文的題目看起來(lái)有些無(wú)趣：論可計(jì)算數(shù)及其在判定問(wèn)題上的應(yīng)用（On Computable Numbers, with an Application to theEntscheidungsproblem）。不要因?yàn)檫@個(gè)題目序言市面上的圖靈傳記不勝枚舉。英國(guó)演員德里克•雅各比（DerekJacobi）將他的形象帶上舞臺(tái)，本尼迪克特•康伯巴奇（BenedictCumberbatch）又在電影中進(jìn)行了重新演繹。艾倫•圖靈即便算不上家喻戶(hù)曉的名人，也算得上眾所周知的人物。很多人都知道，他在第二次世界大戰(zhàn)期間進(jìn)行的密碼破譯工作對(duì)盟軍最終戰(zhàn)勝德軍起到了關(guān)鍵作用。人們可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)，圖靈的一生以氰化物中毒悲慘而終，也有人聽(tīng)說(shuō)過(guò)他為判斷“計(jì)算機(jī)是否可以思考”而設(shè)計(jì)的測(cè)試�；蛟S并不那么有名的事實(shí)是計(jì)算機(jī)科學(xué)界的最高獎(jiǎng)項(xiàng)叫圖靈獎(jiǎng)（A.M.TuringAward）。這一獎(jiǎng)項(xiàng)被奉為計(jì)算界的諾貝爾獎(jiǎng)。每年國(guó)際計(jì)算機(jī)協(xié)會(huì)（AssociationforComputingMachinery，簡(jiǎn)稱(chēng)ACM）都會(huì)向在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域有杰出貢獻(xiàn)的人頒發(fā)圖靈獎(jiǎng)，并送上100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金。ACM以圖靈的名字命名了這一獎(jiǎng)項(xiàng)，是因?yàn)閳D靈被視作計(jì)算機(jī)科學(xué)的奠基人之一。他做了哪些幫助人類(lèi)構(gòu)建計(jì)算機(jī)科學(xué)的事情？答案就是1936年圖靈發(fā)表的一篇引人注目的論文，那時(shí)他只有24歲。這篇論文是圖靈最重要的知識(shí)貢獻(xiàn)。然而論文本身以及蘊(yùn)藏其中的開(kāi)創(chuàng)性觀點(diǎn)卻并沒(méi)有廣泛流傳。本書(shū)的內(nèi)容就圍繞這篇論文展開(kāi)。這篇論文的題目看起來(lái)有些無(wú)趣：論可計(jì)算數(shù)及其在判定問(wèn)題上的應(yīng)用（OnComputableNumbers,withanApplicationtotheEntscheidungsproblem）。不要因?yàn)檫@個(gè)題目而太過(guò)沮喪，論文中包含了很多優(yōu)雅而強(qiáng)大的結(jié)論和出色美妙的論證。圖靈希望通過(guò)自己的論文證明當(dāng)時(shí)一位頂尖數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，他需要研究計(jì)算：什么是計(jì)算？我們?cè)撊绾味x它？是否存在無(wú)法用計(jì)算解決的問(wèn)題？他用令人眼花繚亂的技巧、別出心裁的創(chuàng)意回答了這些問(wèn)題。圖靈仔細(xì)思考了人們完成計(jì)算的方法。他意識(shí)到，任何計(jì)算都可以拆分成一系列簡(jiǎn)單的步驟。接下來(lái)，他制造了能夠完成其中每一個(gè)步驟的理論機(jī)器。這些機(jī)器就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的圖靈機(jī)，它們能夠完成任何計(jì)算1。而在這之后，他指出我們并不需要為每種不同算法設(shè)計(jì)各自的專(zhuān)屬機(jī)器，只需設(shè)計(jì)一個(gè)可以運(yùn)行任意算法的機(jī)器。在這一過(guò)程中，他提出了存儲(chǔ)程序（stored-program）的概念，我們將會(huì)看到這對(duì)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展是至關(guān)重要的。最后，他證明了有一些特定的問(wèn)題超出了計(jì)算機(jī)的能力范疇。這些圖靈機(jī)是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的理論模型。計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行的所有任務(wù)都能夠由圖靈機(jī)進(jìn)行計(jì)算。因此，他的論文不只具有歷史價(jià)值，他告訴我們計(jì)算機(jī)能完成哪些任務(wù)，不能完成哪些任務(wù)。他告訴我們計(jì)算的限制乍看起來(lái)似乎直接明了，可想要做出正確回答，卻超出了任何一臺(tái)計(jì)算機(jī)的能力范疇。這篇論文中包含的觀點(diǎn)出現(xiàn)在很多大學(xué)的本科課程中，課程名稱(chēng)通常是計(jì)算理論（TheoryofComputation）。由于大多數(shù)大學(xué)生沒(méi)有選修這門(mén)課程，所以多數(shù)人并未接觸過(guò)圖靈的工作。總體來(lái)說(shuō)，在全球龐大的人口數(shù)量中，只有很小一部分人知道圖靈論文的內(nèi)容。這篇論文不僅包含了很多非凡的想法，也與當(dāng)代生活有著緊密聯(lián)系，考慮到這些，不能不說(shuō)這種陌生是一個(gè)遺憾。廣義相對(duì)論與量子力學(xué)都誕生于20世紀(jì)上半葉。對(duì)于這兩大理論，大多數(shù)人腦海中都有些概念。這兩大理論都建立在非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，所以理解起來(lái)有一定的難度。不過(guò)，理解圖靈的論文并沒(méi)有這種壓力。正如馬文•明斯基（MarvinMinsky）所說(shuō)：“這一理論的純粹與簡(jiǎn)明賦予其數(shù)學(xué)的美感，這種美感確保其在計(jì)算機(jī)理論中擁有永恒的地位。”2我們將從圖靈理論的基礎(chǔ)開(kāi)始，逐步延伸到那些驚人的結(jié)論。同時(shí)，我們也會(huì)盡可能補(bǔ)充圖靈研究的背景和相關(guān)信息。為此，我們將介紹一些圖靈論文發(fā)表前后的歷史。對(duì)于計(jì)算，不同人可能有不同的見(jiàn)解，這些觀點(diǎn)并無(wú)對(duì)錯(cuò)之分。不同觀點(diǎn)背后的景色迥然不同。在本書(shū)中，我們會(huì)在必要的時(shí)候稍作停留，深入探討其中的一些觀點(diǎn)。特別是普林斯頓大學(xué)邏輯學(xué)家阿隆佐•邱奇（AlonzoChurch）的觀點(diǎn)，它采用了一種完全不同的方式來(lái)探索計(jì)算。邱奇和圖靈都曾為解答德國(guó)數(shù)學(xué)家戴維•希爾伯特（DavidHilbert）提出的問(wèn)題而努力研究。兩人得出了一樣的結(jié)論：希爾伯特做出的假設(shè)是錯(cuò)誤的，不過(guò)邱奇先于圖靈發(fā)表了自己的結(jié)論。看到邱奇的論文時(shí)，圖靈還在撰寫(xiě)自己的論文——知道有人已經(jīng)搶先一步得出與自己一致的結(jié)論，當(dāng)時(shí)圖靈的心中勢(shì)必滿是苦澀與失望。不過(guò)兩人解決這一問(wèn)題的方式卻很不同，論證過(guò)程也因此大相徑庭。圖靈的論證要簡(jiǎn)明優(yōu)雅得多。他的論文并非為了結(jié)論而發(fā)表，而是為了結(jié)論的證明過(guò)程而發(fā)表。數(shù)學(xué)家經(jīng)常會(huì)用“美麗”來(lái)形容一些出色的證明過(guò)程。在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的時(shí)候，會(huì)有一種美學(xué)的指引。每當(dāng)你做出證明卻感覺(jué)過(guò)程稍顯笨拙時(shí)，一定還有更好的論證有待開(kāi)發(fā)。匈牙利數(shù)學(xué)家保羅•厄多斯（PaulErdõs）在談及《圣經(jīng)》時(shí)指出，上帝在一本書(shū)中寫(xiě)就了所有最簡(jiǎn)捷、最美妙的論證。厄多斯說(shuō)過(guò)這樣一句著名的話：“你不一定要信仰上帝，但是你應(yīng)該信仰《圣經(jīng)》。”據(jù)此來(lái)看，圖靈的證明以及他參考的庫(kù)爾特•哥德?tīng)枺↘urtGödel）和格奧爾格•康托爾（GeorgCantor）的理論，一定都能被收錄在《圣經(jīng)》中。本書(shū)主要服務(wù)那些希望了解這些想法的讀者。我們將從基礎(chǔ)開(kāi)始，徐徐展開(kāi)整幅畫(huà)卷。讀者只需具備高中數(shù)學(xué)知識(shí)。本書(shū)需要認(rèn)真閱讀，有些章節(jié)、段落需要反復(fù)研讀。因?yàn)閳D靈講述的并不是計(jì)算領(lǐng)域一些無(wú)關(guān)緊要的細(xì)枝末節(jié)，而是一些深層次的、并不直觀的內(nèi)容。也就是說(shuō)，很多人可能會(huì)覺(jué)得這些想法相當(dāng)有趣，自己的付出也是值得的。圖靈的《論可計(jì)算數(shù)及其在判定問(wèn)題中的應(yīng)用》堪稱(chēng)史詩(shī)級(jí)論文，拉開(kāi)了計(jì)算機(jī)革命的序幕。在這本書(shū)中，伯恩哈特與我們分享了與這篇論文相關(guān)的許多細(xì)節(jié)，讓我們以最簡(jiǎn)潔、最輕松的方式了解這篇偉大的論文。
——伊恩•斯圖爾特，《改變世界的17個(gè)方程式》作者
對(duì)于那些不太了解圖靈的讀者來(lái)說(shuō)，這本精彩紛呈的書(shū)是非常好的普及讀物。
——斯科特•阿倫森，麻省理工學(xué)院電氣工程和計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授
近年來(lái)，現(xiàn)代計(jì)算之父圖靈已經(jīng)成為文化領(lǐng)域的偶像。伯恩哈特這本清晰易懂的書(shū)解釋了圖靈的工作，說(shuō)明了他的思想如何深刻影響了今天的計(jì)算機(jī)科學(xué)。
——諾索•亞諾夫斯基，《理性的外部界限》作者圖靈的《論可計(jì)算數(shù)及其在判定問(wèn)題中的應(yīng)用》堪稱(chēng)史詩(shī)級(jí)論文，拉開(kāi)了計(jì)算機(jī)革命的序幕。在這本書(shū)中，伯恩哈特與我們分享了與這篇論文相關(guān)的許多細(xì)節(jié)，讓我們以最簡(jiǎn)潔、最輕松的方式了解這篇偉大的論文。——伊恩•斯圖爾特，《改變世界的17個(gè)方程式》作者 對(duì)于那些不太了解圖靈的讀者來(lái)說(shuō)，這本精彩紛呈的書(shū)是非常好的普及讀物。——斯科特•阿倫森，麻省理工學(xué)院電氣工程和計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授近年來(lái)，現(xiàn)代計(jì)算之父圖靈已經(jīng)成為文化領(lǐng)域的偶像。伯恩哈特這本清晰易懂的書(shū)解釋了圖靈的工作，說(shuō)明了他的思想如何深刻影響了今天的計(jì)算機(jī)科學(xué)。——諾索•亞諾夫斯基，《理性的外部界限》作者如今智能手機(jī)和筆記本電腦的高速發(fā)展掩蓋了現(xiàn)代計(jì)算先驅(qū)們的光芒。在這本書(shū)中，伯恩哈特揭示了圖靈和其他早期計(jì)算機(jī)科學(xué)家做出的決定性貢獻(xiàn)。這是一本了不起的書(shū)！ ——A•K•杜德尼，西安大略大學(xué)計(jì)算機(jī)系名譽(yù)教授1935年，22歲的艾倫•圖靈當(dāng)選劍橋大學(xué)國(guó)王學(xué)院研究員。那時(shí)的他剛剛完成了數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的本科課程。年輕的圖靈聰慧而又野心勃勃，讀本科的時(shí)候就完成了中心極限定理（CentralLimitTheorem）的證明。這個(gè)定理可能是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)的定理，它說(shuō)明了正態(tài)分布的普遍性并解釋了其多樣性。雖然圖靈完成了證明，但他很快發(fā)現(xiàn)自己并不是第一個(gè)完成了這個(gè)任務(wù)的人。早在10年之前，亞爾•瓦爾德馬•林德伯格（JarlWaldemarLindeberg）就發(fā)表了對(duì)這一定理的證明。雖然圖靈的證明并非首創(chuàng)，但卻展現(xiàn)出了他過(guò)人的天分和非凡的潛力。這足以讓他被劍橋選中，獲得研究員的職位：這份工作為他贏得了獎(jiǎng)金和三年食宿補(bǔ)助，他唯一要做的就是把精力投入數(shù)學(xué)研究之中�，F(xiàn)在，圖靈必須要證明自己。要想做到這一點(diǎn)，他得完成一些真正具有獨(dú)創(chuàng)性的事情。還有什么比解決一個(gè)世界頂級(jí)數(shù)學(xué)家提出的猜想，并證明他是錯(cuò)誤的更令人心動(dòng)？這正是圖靈想要做的，他將解決希爾伯特的判定問(wèn)題。在介紹圖靈的工作之前，我們有必要了解希爾伯特提出這一問(wèn)題的原因。這還要追溯到19世紀(jì)下半葉至20世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。我將用較多的筆墨介紹數(shù)學(xué)邏輯的興起、人們?yōu)樽非髷?shù)學(xué)公理化所做的努力以及算法扮演的角色與作用。 數(shù)學(xué)通常被視作“確定”的代名詞。如果數(shù)學(xué)真理不是確定的，又有什么事情存在定數(shù)？縱觀數(shù)學(xué)史，由于根基不牢靠而導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)崩潰的案例并不少見(jiàn)。人類(lèi)第一次感覺(jué)到數(shù)學(xué)的非確定性要追溯到公元前5世紀(jì)。據(jù)傳，這種非確定性的發(fā)現(xiàn)也導(dǎo)致希帕索斯（Hippasus）因?yàn)樽约鹤C明的定理而慘遭謀殺。如今希帕索斯的證明原稿早已不知所蹤，不過(guò)這段論證很可能也會(huì)歸入最美麗的數(shù)學(xué)論證之列（我們將在稍后看到完整的證明）。古希臘數(shù)字系統(tǒng)由兩部分組成——完整數(shù)以及完整數(shù)的比率，也就是我們現(xiàn)在常說(shuō)的整數(shù)和有理數(shù)。希帕索斯首先假定了一個(gè)底和高都是1的直角三角形，接下來(lái)他發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)度并不是有理數(shù)�，F(xiàn)在看來(lái)，這完全不是問(wèn)題。因?yàn)槌擞欣頂?shù)，我們還有像π、e這樣的無(wú)理數(shù)。我們明白希帕索斯論證中的斜邊長(zhǎng)度，實(shí)際上就是這個(gè)無(wú)理數(shù)。然而對(duì)于古希臘人來(lái)說(shuō)，這無(wú)疑是個(gè)大問(wèn)題——他們的數(shù)字系統(tǒng)中只存在有理數(shù)。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，希帕索斯論證中那條斜邊的長(zhǎng)度無(wú)法由他們的數(shù)字表示，這也意味著還有更多的長(zhǎng)度不是數(shù)字！希帕索斯是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員，這個(gè)神秘的學(xué)派相信，數(shù)字能夠表示所有事物的本質(zhì)。由學(xué)派成員證明出數(shù)字無(wú)法表示所有長(zhǎng)度，這無(wú)異于晴天霹靂，令人心神不安——這一論斷直接撼動(dòng)了他們最基礎(chǔ)的信念。據(jù)說(shuō)當(dāng)希帕索斯將自己的證明展示給其他畢達(dá)哥拉斯派成員時(shí)，憤怒的同伴用沉重的鏈條纏住他的身體，將他溺斃在湖中央。這個(gè)故事的真實(shí)性難以考證，但無(wú)法測(cè)量的長(zhǎng)度這一發(fā)現(xiàn)無(wú)疑引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第一場(chǎng)地震般的劇變。數(shù)字和長(zhǎng)度都是基本的實(shí)體，你能夠畫(huà)出底和高都是1的直角三角形，意味著它的斜邊是真實(shí)存在的。這條斜邊擁有自己的長(zhǎng)度，但對(duì)于古希臘人來(lái)說(shuō)這卻非常怪異，因?yàn)樗麄儫o(wú)法給這個(gè)長(zhǎng)度分配一個(gè)數(shù)字。這類(lèi)論證使古希臘人認(rèn)為，長(zhǎng)度才是更基礎(chǔ)的實(shí)體。這樣看來(lái)，數(shù)字確實(shí)讓人有些不安——它缺少絕對(duì)的確定性。數(shù)字理論曾經(jīng)被視作數(shù)學(xué)中最基本、最確定的概念，在經(jīng)歷了這場(chǎng)風(fēng)云突變后，幾何學(xué)很快取而代之。從那以后直到現(xiàn)在，幾何學(xué)都是數(shù)學(xué)教學(xué)重要的組成部分。這主要?dú)w功于一個(gè)人和一本書(shū)——歐幾里得（Euclid）及其所著的《幾何原本》（Elements）�！稁缀卧尽肥菤W幾里德編撰的收錄了已知數(shù)學(xué)知識(shí)的百科全書(shū)，也是一本教科書(shū)。自2000多年前寫(xiě)就以來(lái)，這些文字一直備受追捧，不斷吸引著研究者的目光，在拜占庭和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家中廣為流傳。1482 年《幾何原本》首次印刷出版，并在之后不斷再版。歐幾里德從一系列公理、假設(shè)入手2，逐漸延展、推理出更多新的結(jié)論。每一個(gè)新定理都能夠通過(guò)公理以及之前的推論得出。這種公理化的方法給人們帶來(lái)了一種數(shù)學(xué)具有確定性的印象。如果我們知道自己使用的最初級(jí)的公理是正確的，就會(huì)知道自己的邏輯推理是有效的，這樣也就能夠肯定通過(guò)推理得出的結(jié)論。然而問(wèn)題在于我們很容易做出一些無(wú)根據(jù)的假設(shè)——這些假設(shè)可能顯而易見(jiàn)，甚至可能是正確的，但是卻不能由最初的幾條公理推導(dǎo)而出。當(dāng)這些無(wú)根據(jù)的假設(shè)被加入證明過(guò)程時(shí)，邏輯的有效性頃刻土崩瓦解，數(shù)學(xué)的必然性也就此喪失。在19世紀(jì)，有人意識(shí)到歐幾里德做出的很多假設(shè)并非基于自己的推導(dǎo)。因此，他的幾何學(xué)著作需要重新修訂。歐幾里德在證明過(guò)程中使用的一些無(wú)法從公理中推斷出的陳述，必須添加到他的公理列表之中。整個(gè)幾何學(xué)的框架都需要重新擴(kuò)展、更新。戴維•希爾伯特提出了新的挑戰(zhàn)。1899年，他發(fā)表了學(xué)術(shù)著作《幾何基礎(chǔ)》（GrundlagenderGeometrie），在書(shū)中列出了一個(gè)更新、更長(zhǎng)也更完整的公理列表。希爾伯特十分審慎，希望確保沒(méi)有根據(jù)的假設(shè)不會(huì)混入證明過(guò)程。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，他對(duì)公理的定義與歐幾里德的定義有著非常大的差異。在歐幾里德看來(lái)，像“兩點(diǎn)確定一條直線”這樣的公理是不證自明的。“點(diǎn)”和“線”都有自身的含義。希爾伯特的方法卻不同，他意識(shí)到任何公理和定義系統(tǒng)都應(yīng)該始于某個(gè)起點(diǎn)，這些最初的陳述中勢(shì)必會(huì)包含此前從未被定義過(guò)的術(shù)語(yǔ)。對(duì)希爾伯特來(lái)說(shuō)，公理是能夠用來(lái)證明其他觀點(diǎn)的陳述，但公理并不能被視作不證自明的真理。歐幾里德的公理“兩點(diǎn)確定一條直線”中包含了“點(diǎn)”和“線”這兩個(gè)沒(méi)有被定義過(guò)的概念，因此這兩個(gè)字不應(yīng)該具有任何意義。公理會(huì)定義這些未定義概念之間的關(guān)系。正如希爾伯特指出的，由于這些術(shù)語(yǔ)并沒(méi)有任何意義，因此理論上你可以選用任何一個(gè)詞來(lái)替換“點(diǎn)”和“線”。據(jù)說(shuō)，他曾將公理中的“點(diǎn)”、“線”、“面”等字眼，換作“桌子”、“椅子”、“幾杯啤酒”。伯特蘭•羅素曾經(jīng)頗為風(fēng)趣地對(duì)此做出總結(jié)：“數(shù)學(xué)可能就是這樣一個(gè)學(xué)科，我們可能永遠(yuǎn)不知道自己在談?wù)撌裁�，或者無(wú)法判斷自己說(shuō)的是對(duì)還是錯(cuò)。”3我們當(dāng)然希望“點(diǎn)”、“線”這樣的術(shù)語(yǔ)指代的是我們平時(shí)談?wù)摰狞c(diǎn)和線，但是希爾伯特認(rèn)為任何涉及這些術(shù)語(yǔ)的證明，都只應(yīng)通過(guò)公理推導(dǎo)而出，不該源于我們對(duì)這些文字的直觀理解。希爾伯特在幾何學(xué)方面的成功自然而然地帶來(lái)了一個(gè)問(wèn)題：公理化方法是否能夠應(yīng)用到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科？是否能夠找出一組公理，構(gòu)建出數(shù)學(xué)學(xué)科的全部？包括希爾伯特和羅素在內(nèi)的一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為這種公理化方法是可行的。但是，在討論羅素、希爾伯特和其他人的研究前，我們還需要了解一下數(shù)學(xué)邏輯的發(fā)展。
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