《趣味隨機(jī)問(wèn)題》適合高中以上文化程度的學(xué)生、教師、科技工作者和數(shù)學(xué)愛(ài)好者使用。
本書(shū)簡(jiǎn)介：
《趣味隨機(jī)問(wèn)題》分為概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程三部分，每部分包含若干個(gè)趣味問(wèn)題。其中有分賭注問(wèn)題、巴拿赫火柴盒問(wèn)題、波利亞壇子問(wèn)題、巴格達(dá)竊賊問(wèn)題、賭徒輸光問(wèn)題、群體（氏族）滅絕問(wèn)題等歷史名題，也有許多介紹新內(nèi)容、新方法的問(wèn)題。《趣味隨機(jī)問(wèn)題》內(nèi)容有趣，應(yīng)用廣泛。能啟迪讀者的思維，開(kāi)闊讀者的視野，增強(qiáng)讀者的提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。
目錄：
叢書(shū)修訂版前言
第一版總序
前言
01概率論篇1
1.1全是不可測(cè)集惹的麻煩1
1.2概率概念的完善3
1.3三個(gè)孩子都是女孩的概率8
1.4有限不放回抽樣10
1.5幾次試開(kāi)能打開(kāi)大門(mén)11
1.6常見(jiàn)離散型分布的背景12
1.7哪個(gè)概率大14
1.8分賭注問(wèn)題16
1.9是否接收這批產(chǎn)品24
1.10抓鬮25"
目錄：
叢書(shū)修訂版前言
第一版總序
前言
01概率論篇1
1.1全是不可測(cè)集惹的麻煩1
1.2概率概念的完善3
1.3三個(gè)孩子都是女孩的概率8
1.4有限不放回抽樣10
1.5幾次試開(kāi)能打開(kāi)大門(mén)11
1.6常見(jiàn)離散型分布的背景12
1.7哪個(gè)概率大14
1.8分賭注問(wèn)題16
1.9是否接收這批產(chǎn)品24
1.10抓鬮25
1.11最后摸出黑球的概率有多大27
1.12選舉定理及其應(yīng)用28
1.13剩下全是黑球的可能性30
1.14與摸球是否放回?zé)o關(guān)31
1.15整除的概率32
1.16抽牌游戲33
1.17點(diǎn)子多贏33
1.18先出現(xiàn)的贏35
1.19摸到奇數(shù)個(gè)球的概率37
1.20取數(shù)游戲38
1.21全取到為止40
1.22第m個(gè)小的那個(gè)數(shù)42
1.23兩次取出的數(shù)字都不相同43
1.24下賭注問(wèn)題44
1.25連續(xù)出現(xiàn)的概率46
1.26巴拿赫(Banach)火柴盒問(wèn)題46
1.27波利亞(Polya)壇子問(wèn)題47
1.28鞋子配對(duì)49
1.29信封與信配對(duì)50
1.30手套配對(duì)51
1.312n根小棒兩兩配對(duì)52
1.32接草成環(huán)53
1.33男女配對(duì)54
1.34丈夫總在妻子的后面54
1.35夫妻相鄰就坐55
1.36確診率問(wèn)題56
1.37人壽保險(xiǎn)問(wèn)題56
1.38如何追究責(zé)任58
1.39系統(tǒng)可靠性問(wèn)題59
1.40生日問(wèn)題61
1.41盒子數(shù)不超過(guò)球數(shù)的放球問(wèn)題63
1.42座位問(wèn)題65
1.43放球次數(shù)問(wèn)題65
1.44最小最大球數(shù)問(wèn)題66
1.45下電梯問(wèn)題67
1.46上火車(chē)問(wèn)題68
1.47球不可辨的放球問(wèn)題68
1.48蒲豐(Buffon)投針問(wèn)題70
1.49會(huì)面問(wèn)題71
1.50不需要等待碼頭空出問(wèn)題72
1.513段小棒構(gòu)成三角形問(wèn)題73
1.52圓周上3點(diǎn)構(gòu)成鈍角三角形問(wèn)題74
1.53兩點(diǎn)之間的距離75
1.54獨(dú)立性76
1.55永遠(yuǎn)年輕81
1.56最大可能值83
1.57再生性87
1.58最少進(jìn)貨量87
1.59化驗(yàn)血清的次數(shù)89
1.60乘客等車(chē)(浪費(fèi)的)時(shí)間90
1.61巴格達(dá)竊賊(礦工脫險(xiǎn))問(wèn)題91
1.62蟲(chóng)卵數(shù)問(wèn)題92
1.63積分的計(jì)算93
1.64維爾斯特拉斯定理的大數(shù)定律證明94
1.65蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬96
1.66沒(méi)校出的印刷錯(cuò)誤數(shù)97
1.67至少安裝外線數(shù)99
1.68每盒至少裝多少只螺絲釘100
1.69價(jià)格預(yù)測(cè)100
1.70概率巧計(jì)算101
1.71離散型隨機(jī)變量的密度函數(shù)定義103
1.72母函數(shù)104
1.73反之未必成立111
1.74兩個(gè)母公式117
02數(shù)理統(tǒng)計(jì)篇123
2.1白球多還是黑球多128
2.2湖中有多少條魚(yú)130
2.3有效估計(jì)量的簡(jiǎn)易計(jì)算132
2.4貝葉斯估計(jì)量的簡(jiǎn)易計(jì)算134
2.5一般離散型分布參數(shù)的極大似然估計(jì)136
2.6袋中有多少個(gè)普通硬幣137
2.7收藏家買(mǎi)畫(huà)問(wèn)題139
2.8福利彩票142
2.9截尾試驗(yàn)中指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)148
2.10今天生產(chǎn)的滾球是否合格153
2.11如何減小犯第2類(納偽)錯(cuò)誤的概率β155
2.12原假設(shè)的“惰性”157
2.13驗(yàn)收(鑒定)抽樣方案159
2.14第5次擲出幾點(diǎn)163
2.15隨機(jī)變量模擬抽樣165
03隨機(jī)過(guò)程篇170
3.1賭徒輸光問(wèn)題170
3.2群體(氏族)滅絕問(wèn)題175
3.3市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)179
3.4股票價(jià)格預(yù)測(cè)182
3.5客機(jī)可靠性預(yù)測(cè)183
3.6教學(xué)質(zhì)量評(píng)估184
3.7商品銷(xiāo)售情況預(yù)測(cè)187
3.8定貨總收入模型188
3.9造成死亡交通事故數(shù)191
3.10泊松過(guò)程的檢驗(yàn)193
參考文獻(xiàn)196
附表1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表198
附表2常見(jiàn)隨機(jī)變量分布表200"
"01概率論篇
1.1全是不可測(cè)集惹的麻煩
隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱為事件)、概率、隨機(jī)變量是概率論中最基本的三個(gè)概念，它們是逐步形成與完善起來(lái)的。其中事件與隨機(jī)變量這兩個(gè)概念與不可測(cè)集合的關(guān)系非常緊密。如果不存在不可測(cè)集合，事件與隨機(jī)變量的定義將會(huì)非常簡(jiǎn)潔易懂。由于不可測(cè)集合的存在，給這兩個(gè)概念的定義帶來(lái)了很大的麻煩，使初學(xué)者感到很困難。
學(xué)過(guò)初等概率論的人都知道，隨機(jī)事件是樣本空間(由所有樣本點(diǎn)或基本事件組成的集合)的子集，但是樣本空間的子集卻未必是隨機(jī)事件。為什么？一般教科書(shū)均不作解釋，因?yàn)榇藛?wèn)題說(shuō)起來(lái)話長(zhǎng)，又涉及較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，一兩句話是說(shuō)不清楚的。
如果樣本空間Ω中的樣本點(diǎn)只有可數(shù)(可列)多個(gè)，則Ω中的任一個(gè)子集都可測(cè)；如果Ω中的樣本點(diǎn)有無(wú)窮不可數(shù)多個(gè)(如一個(gè)區(qū)間或一個(gè)區(qū)域)，則可人為地構(gòu)造出Ω的不可測(cè)子集。什么叫做(集合)可測(cè)？這涉及較深的測(cè)度論知識(shí)。通俗地說(shuō)，所謂集合A可測(cè)，就是可以求出A的測(cè)度。什么叫做測(cè)度？如果A是離散可數(shù)集合，則把A中的元素個(gè)數(shù)作為A的測(cè)度，如果A是非離散的區(qū)域而且是一維的(二維的、三維的)，就把A的長(zhǎng)度(面積、體積)作為A的測(cè)度。關(guān)于如何構(gòu)造Ω的不可測(cè)子集，有興趣的讀者可以參閱鄭維行和王聲望著的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》。初學(xué)者很難理解，一條曲線為什么會(huì)不可以測(cè)量它的長(zhǎng)度呢？美籍華人鐘開(kāi)來(lái)說(shuō)，讀者可以這樣設(shè)想，這條曲線彎曲得非常厲害，我們無(wú)法測(cè)準(zhǔn)它的長(zhǎng)度，或者設(shè)想它離我們非常遙遠(yuǎn)，即使用最先進(jìn)的儀器也無(wú)法對(duì)它進(jìn)行測(cè)量。
由于樣本空間中的子集不一定都可測(cè)，那些不可測(cè)子集我們是無(wú)法求其概率的，當(dāng)然，就不把它們看成事件，這是因?yàn)槲覀冄芯渴录闹饕康氖乔笃涑霈F(xiàn)(發(fā)生)的概率。又因?yàn)樵趯?shí)際問(wèn)題中我們往往要對(duì)事件進(jìn)行各種運(yùn)算(或變換)，我們自然會(huì)問(wèn)：可測(cè)事件運(yùn)算(或變換)的結(jié)果是否仍為可測(cè)？為了保證可測(cè)事件運(yùn)算(或變換)的結(jié)果仍為可測(cè)，我們?cè)诙x事件中引進(jìn)了σ代數(shù)的概念。
定義1.1設(shè)Ω為一個(gè)集合，如果Ω中的一些子集組成的集類(以集合為元素的集合)F滿足：
(i)Ω∈F。
(ii)如果A∈F，則A的補(bǔ)集∈F。
(iii)如果An∈F，n=1，2，3，，則∪∞n=1An∈F。
則稱F為Ω中的σ代數(shù)。
有了σ代數(shù)的概念，可引入事件的如下的嚴(yán)密定義。
定義1.2如果F是由樣本空間Ω中一些(可測(cè))子集組成的σ代數(shù)，則稱F為事件域，稱且僅稱F中的元素為事件。通常稱(Ω，F(xiàn))為可測(cè)空間。
由此定義可知：
(i)σ代數(shù)未必是事件域，但是事件域一定是σ代數(shù)。
(ii)｛，Ω｝為最小事件域(其中為不可能事件，即為不含有任何樣本點(diǎn)的空集)。如果A為Ω中的可測(cè)子集，則｛，A，A，Ω｝是包含事件A的最小事件域。如果Ω中的子集都可測(cè)，則取事件域?yàn)椋鸄：AΩ｝(即如果AΩ，則稱A為事件)，它也是最大的事件域。因此，事件域不是唯一的。
(iii)在實(shí)際問(wèn)題中，如果Ω中的樣本點(diǎn)是可數(shù)的，通常就取事件域?yàn)椋鸄：AΩ｝，否則，通常取事件域?yàn)榘覀兯P(guān)心的事件的σ代數(shù)。在一個(gè)問(wèn)題中，事件域一經(jīng)取定就不再變動(dòng)
如果不存在樣本空間Ω中的不可測(cè)子集，隨機(jī)變量就可以簡(jiǎn)單定義為：如果X(ω)是Ω上的單值實(shí)函數(shù)，則稱X(ω)為隨機(jī)變量。而現(xiàn)在隨機(jī)變量的定義不僅復(fù)雜得多，而且使初學(xué)者很不容易理解。
定義1.3設(shè)(Ω，F(xiàn))是一個(gè)可測(cè)空間，X(ω)為定義于Ω上的單值實(shí)函數(shù)，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有
�。兀篨(ω)≤x，ω∈Ω｝∈F
則稱X(ω)為(Ω，F(xiàn))上的一個(gè)隨機(jī)變量。
通常簡(jiǎn)記X(ω)為X，簡(jiǎn)記｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝為｛X≤x｝。｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝表示使得X(ω)≤x成立的那些樣本點(diǎn)ω組成的集合。如果這個(gè)集合為可測(cè)的事件，即｛X≤x｝∈F，我們才稱X為隨機(jī)變量。
由定義1.3知隨機(jī)變量不是簡(jiǎn)單的變量，而是定義于樣本空間Ω上的滿足條件｛X≤x｝∈F的單值實(shí)函數(shù)。不過(guò)在實(shí)際問(wèn)題中如果用定義1.3去驗(yàn)證一個(gè)量是否為隨機(jī)變量那將是件很麻煩的事情。通常不用定義1.3去驗(yàn)證一個(gè)量是否為隨機(jī)變量，而是去驗(yàn)證該量取值是否為隨機(jī)的。如果是，則該量是隨機(jī)變量；否則，它就不是隨機(jī)變量。何為隨機(jī)的？所謂隨機(jī)的是指：該量至少能取兩個(gè)值，而且事前(試驗(yàn)之前)無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)言它取哪個(gè)值。
1.2概率概念的完善
概率是描述事件發(fā)生(出現(xiàn))可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，它是逐步形成和完善起來(lái)的。最初人們討論的是古典概型(隨機(jī))試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率。所謂古典概型試驗(yàn)是指樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的且每個(gè)樣本點(diǎn)(組成的事件)發(fā)生的可能性是相同的，簡(jiǎn)稱為有限性與等可能性。例如，擲一顆均勻骰子的試驗(yàn)與從一個(gè)裝有n個(gè)相同(編了號(hào))球的袋中隨機(jī)摸一個(gè)球的試驗(yàn)都是古典概型試驗(yàn)。對(duì)于古典概型試驗(yàn)，人們給出概率的如下定義。
定義1.4設(shè)試驗(yàn)E是古典概型的，其樣本空間Ω由n個(gè)樣本點(diǎn)組成，其一事件A由r個(gè)樣本點(diǎn)組成，則定義A(發(fā)生)的概率為rn，記為P(A)，即
P(A)=A中樣本點(diǎn)數(shù)Ω中樣本點(diǎn)數(shù)=rn
并稱這樣定義的概率為古典概率，稱概率的這樣的定義為古典定義。
古典概率有如下3個(gè)性質(zhì)：
(i)對(duì)任意事件A，有0≤P(A)≤1。
(ii)P(Ω)=1。
(iii)設(shè)A1，A2，，Am為兩兩互斥的m個(gè)事件，則
P(∪mi=1Ai)=∑mi=1P(Ai)
(i)、(ii)、(iii)分別稱為概率的有界性、規(guī)范性與有限可加性。
古典概率的定義要求試驗(yàn)滿足有限性與等可能性，這使得它在實(shí)際應(yīng)用中受到了很大的限制。例如，對(duì)于旋轉(zhuǎn)均勻陀螺的試驗(yàn)：在一個(gè)均勻的陀螺圓周上均勻地刻上區(qū)間［0，3)內(nèi)諸數(shù)字，旋轉(zhuǎn)陀螺，當(dāng)它停下時(shí)，其圓周上與桌面接觸處的刻度位于某區(qū)間［a，b)［［0，3)］內(nèi)的概率有多大？對(duì)于這樣的試驗(yàn)，古典概率的定義就不適用。因?yàn)榇嗽囼?yàn)的樣本點(diǎn)不是有限的，而是區(qū)間［0，3］中的每個(gè)點(diǎn)，它有無(wú)窮不可數(shù)多個(gè)。為了克服定義1.4的局限性，人們又引入概率的如下定義。
定義1.5設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為某可度量的區(qū)域Ω，且Ω中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性大小與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無(wú)關(guān)，則稱E為幾何概型的試驗(yàn)。且定義E的事件A的概率為
P(A)=A的幾何度量/Ω的幾何度量
其中，如果Ω是一維的、二維的、三維的，則Ω的幾何度量分別為長(zhǎng)度、面積、體積。并稱這樣定義的概率為幾何概率，而稱概率的這樣的定義為幾何定義。
幾何概率除了具有古典概率的3個(gè)性質(zhì)外，它還具有如下的可列可加性(或完全可加性)：
(iv)設(shè)A1，A2，A3，為兩兩互斥的無(wú)窮多個(gè)事件，則
概率的幾何定義雖然去掉了有限性的限制，但是它仍然要試驗(yàn)滿足等可能性，這在實(shí)際問(wèn)題中仍有很大的局限性。例如，擲一枚不均勻的硬幣的試驗(yàn)就不具有等可能性，這樣上述兩個(gè)定義對(duì)這個(gè)非常簡(jiǎn)單的試驗(yàn)都不適用。同時(shí)我們還注意到上述兩個(gè)定義中的等可能性嚴(yán)格地說(shuō)都是近似的，而不是真正的等可能。因此，我們必須再一次推廣概率的定義，以滿足實(shí)際問(wèn)題要求。為此，人們?cè)陬l率的基礎(chǔ)上又引進(jìn)了概率的統(tǒng)計(jì)定義。
通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐，人們逐步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，事件出現(xiàn)的頻率都具有穩(wěn)定性。即對(duì)于某個(gè)固定的事件，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)，該事件出現(xiàn)的頻率總在0與1之間某個(gè)數(shù)字p附近擺動(dòng)，且越來(lái)越接近p。例如，擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)，歷史上曾經(jīng)有很多數(shù)學(xué)家做過(guò)。下表是幾位數(shù)學(xué)家做此試驗(yàn)的結(jié)果。由此表可以看到，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，正面出現(xiàn)的頻率越來(lái)越靠近0.5(表1-1)。由此，人們又引入概率的統(tǒng)計(jì)定義。
表1-1擲均勻硬幣的試驗(yàn)
定義1.6設(shè)A為試驗(yàn)E的一個(gè)事件，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加A出現(xiàn)的頻率在0與1之間某個(gè)數(shù)p附近擺動(dòng)，則定義A的概率為p，記為P(A)，即
P(A)=p
稱這樣定義的概率為統(tǒng)計(jì)概率，稱概率的這樣的定義為統(tǒng)計(jì)定義。
統(tǒng)計(jì)概率也有古典概率的3個(gè)性質(zhì)，即有界性、規(guī)范性、有限可加性。
概率的統(tǒng)計(jì)定義對(duì)試驗(yàn)不作任何要求，它適合所有試驗(yàn)，也比較直觀。但是在數(shù)學(xué)上很不嚴(yán)密。因?yàn)槠湟罁?jù)是重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)頻率呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性。何為“很多”？1萬(wàn)次相對(duì)于1000次來(lái)說(shuō)是很多了，但是相對(duì)于10萬(wàn)次來(lái)說(shuō)它又是很少了。試驗(yàn)次數(shù)究竟要多到怎樣的程度才能算“很多”定義中沒(méi)有說(shuō)明；又如定義中的“擺動(dòng)”又如何理解，也沒(méi)有數(shù)學(xué)說(shuō)明，再如定義中的“p”又如何確定？不同的人可能會(huì)確定不同的值。這樣，一個(gè)事件將有多個(gè)概率。例如，在表1-1中，正面出現(xiàn)的頻率顯然在0.5附近擺動(dòng)，因此可以認(rèn)為正面出現(xiàn)的概率為0.5。但是由于硬幣不會(huì)絕對(duì)均勻的，也可以認(rèn)為正面出現(xiàn)的概率為0.50001或0.4999。因此，概率的上述3個(gè)定義都有缺陷，與其說(shuō)它們是定義，不如說(shuō)它們僅是對(duì)不同的情況給出概率的3種計(jì)算方法。所以我們有必要給出概率的一個(gè)嚴(yán)密的對(duì)各種情況都適用的定義，以使得概率論這座大廈有牢固的基礎(chǔ)。
20世紀(jì)30年代初，馮.米富斯(R.VonMises)給出樣本空間的概念，使得有可能把概率的嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論建立在測(cè)度論上。20世紀(jì)30年代中期柯?tīng)柲缏宸?A.N.Kolmogorov)以上述3個(gè)定義的性質(zhì)為背景給出概率的嚴(yán)密的公理化定義。
定義1.7設(shè)(Ω，F(xiàn))為一個(gè)可測(cè)空間，P為定義于F上的實(shí)值集合函數(shù)，如果P滿足下列3個(gè)條件：
(i)對(duì)每個(gè)A∈F，有P(A)≥0；
(ii)P(Ω)=1；
(iii)如果Ai∈F，i=1，2，3，，且當(dāng)i≠j時(shí)，AiAj=，則P(∪∞i=1Ai)=∑∞i=1P(Ai)。
那么，就稱P為概率測(cè)度，簡(jiǎn)稱為概率。
一般把Ω，F(xiàn)，P寫(xiě)在一起成(Ω，F(xiàn)，P)，并稱(Ω，F(xiàn)，P)為概率空間。以后總用Ω表示樣本空間，用F表示Ω中的固定的事件域，用P表示相應(yīng)于Ω與F的概率。此定義的3個(gè)條件稱為3個(gè)公理。這3個(gè)公理分別稱為概率的非負(fù)性、規(guī)范性與完全可加性(或可列可加性)。
概率的公理化定義中沒(méi)有要求定義于F上的實(shí)值集合函數(shù)P滿足有界性與有限可加性，為什么？這是因?yàn)橛薪缧耘c有限可加性可以由3個(gè)公理推導(dǎo)出來(lái)，而且，一個(gè)概念的定義(自然)要求所滿足的條件越少越好，這樣才便于應(yīng)用。設(shè)想，如果一個(gè)定義要求滿足10個(gè)條件，則每次應(yīng)用前都要逐一驗(yàn)證這10個(gè)條件是否滿足(如果不滿足，則不能應(yīng)用該定義)，這將是很麻煩的事情。其次，概率的公理化定義是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，且對(duì)試驗(yàn)不作任何要求，我們很自然地會(huì)問(wèn)，前述的三個(gè)定義是否可以不要了？不可以。這是因?yàn)楣砘x雖然在數(shù)學(xué)上很?chē)?yán)密，但是它沒(méi)有給出事件概率的計(jì)算方法。要計(jì)算一個(gè)具體事件的概率，還得根據(jù)不同的情況，利用上述3個(gè)定義之一來(lái)計(jì)算。
另一個(gè)需要說(shuō)明的是概率的公理化定義不是唯一，它有很多等價(jià)定義。由有限可加性得P()=P(∑n+1i=1)=(n+1)P()，即nP()=0，所以P()=0，又對(duì)任意事件A∈F，由單調(diào)性，有P(A)≥P()，從而"
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