作品介紹
線性代數
作者：孟昭為 整理日期：2016-03-30 23:30:16
《線性代數》是根據高等教育本科線性代數課程的教學基本要求編寫而成的.主要內容有：n階行列式、矩陣與向量、矩陣的運算、線性方程組、相似矩陣與二次型、線性空間與線性變換、矩陣理論與方法的應用.書后附有部分習題參考答案.書末的附錄中選編了2010～2015年全國碩士研究生入學考試線性代數的部分試題.
目錄：
第三版前言
第一版前言
第1章n階行列式1
1.1n階行列式的概念1
1.2n階行列式的性質10
1.3n階行列式的計算16
1.4克拉默法則23
習題128
第2章矩陣與向量34
2.1消元法與矩陣的初等變換34
2.2向量及其線性運算40
2.3向量組的線性相關性43
2.4矩陣的秩53
習題260
第3章矩陣的運算64
3.1矩陣的運算64
3.2逆矩陣74
3.3初等矩陣77
3.4分塊矩陣82
習題389
第4章線性方程組94
4.1線性方程組解的判別94
4.2齊次線性方程組101
4.3非齊次線性方程組105
習題4110
第5章相似矩陣與二次型115
5.1向量的內積與正交向量組115
5.2方陣的特征值與特征向量119
5.3相似矩陣125
5.4實對稱矩陣的相似對角形130
5.5二次型及其標準形137
5.6正定二次型148
習題5151
第6章線性空間與線性變換156
6.1線性空間的概念156
6.2基？坐標及其變換158
6.3線性變換及其矩陣162
習題6168
第7章矩陣理論與方法的應用171
7.1矩陣方法在微積分中的應用171
7.2投入產出數學模型180
習題7193
部分習題參考答案195
附錄全國碩士研究生入學考試線性代數試題選208作者介紹暫無文摘第1章n階行列式
行列式是線性代數中的重要概念之一，在數學的許多分支和工程技術中有著廣泛的應用.本章主要介紹n階行列式的概念、性質、計算方法以及利用行列式來求解一類特殊線性方程組的克拉默法則.
1.1n階行列式的概念
行列式的概念起源于用消元法解線性方程組.設有二元一次方程組
用加減消元法得
當a11a22-a12a21≠0時，方程組(1.1)有唯一解
為了進一步討論方程組的解與未知量的系數和常數項之間的關系，引入下面記號:
并稱之為二階行列式，它表示數值a11a22-a12a21，即a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.行列式中橫排的叫做行，縱排的叫做列，數aij(i，j=1，2)稱為行列式的元素，i為行標，j為列標.由上述定義得b1a12
若記
則方程組(1.1)的解可用二階行列式表示為x1=D1D，x2=D2D(D≠0).對于三元一次方程組
如果滿足一定條件，則其解也可通過加減消元法求出，但解的表達式較為復雜，難于看出解與系數、常數項之間的規(guī)律性聯系.為尋求這種聯系，下面引入三階行列式的概念.我們稱記號
為三階行列式，它由三行三列共9個元素組成，表示數值a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33，(1.3)
(1.4)這種方法稱為計算行列式的對角線法則.例1求下列行列式的值:(1)
cab.解(1)
若記
則容易驗證，方程組(1.2)的解可表示為
引入了二階、三階行列式的概念之后，二元、三元線性方程組的解可以很方便地由二階、三階行列式表示出來.那么對于n元線性方程組a11x1+a12x2++a1nxn=b1，
在一定條件下它的解能否有類似的結論?這里首先要解決的問題是定義n階行列式.為此，我們觀察方程組(1.1)、(1.2)的系數與對應的二階、三階行列式的元素的位置關系，暫且把記號
稱為n階行列式(簡記為Δ(aij))，它是由n行n列共n2個元素組成.在明確(1.6)式的意義之前，我們先來定義n階行列式中元素aij(i，j=1，2，，)的余子式、代數余子式.
定義1.1.1把n階行列式(1.6)中元素aij所在的第i行和第j列刪去后留下的n-1階行列式稱為元素aij的余子式，記作Mij，即
為元素aij的代數余子式.例如，對于三階行列式a11a12a13
第一行元素的代數余子式分別為A11=(-1)1+1a22a23
利用以上結果可將(1.4)式化簡為a11a12a13
此式表明，三階行列式的值等于它的第一行元素a11，a12，a13與所對應的代數余子式A11，A12，A13乘積的和.這與(1.4)式的定義是一致的，這種用低階行列式定義高一階行列式的方法具有一般意義.按照這一思想我們給出n階行列式(1.6)的歸納法定義.定義1.1.2n階行列式(1.6)是由n2個元素aij(i，j=1，2，，)所決定的一個數.當n=2時，定義a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.假設n-1階行列式已經定義，則定義n階行列式a11a12a1n
其中A1j(j=1，2，，)是n階行列式中元素a1j(j=1，2，，)的代數余子式.顯然，對任意自然數n，由此歸納定義可求n階行列式的值.特別地，當n=1時，行列式a11=a11，不能與數的絕對值相混淆.
例2求下列行列式的值：
這個行列式稱為下三角行列式，它的特點是當i＜j時aij=0(i，j=1，2，，n).
解由行列式的定義，得
D=a11A11+0A12++0A1n，
A11是一個n-1階下三角行列式，由定義A11=a22a3300
依次類推，不難求出D=a11a22ann，
即下三角行列式等于主對角線上的諸元素的乘積.作為下三角行列式的特例，主對角行列式λ
證由行列式的定義D=(-1)1+na1n00a2n-1
特別地，次對角行列式序言暫無 | |
