《算術(shù)研究》是被譽為“數(shù)學王子”的德國大數(shù)學家高斯的第一部杰作，該書寫于1797年，1801年正式出版，這是一部用拉丁文寫成的巨著，是數(shù)論的最經(jīng)典及最具權(quán)威性的著作。在隨后的200年時間中被翻譯成多國文字，如德文、英文、俄文等。這部著作在數(shù)學中的重要地位不亞于《圣經(jīng)》在基督教中的地位，只有歐幾里得的《幾何原本》堪與之相比，因為高斯有一句名言：“數(shù)學是科學的女皇，數(shù)論是數(shù)學的女皇。”這部著作共七篇。
第一篇討論一般的數(shù)的同余：并首次引進了同余記號，這是現(xiàn)代數(shù)學中無處不在的等價和分類概念出現(xiàn)在代數(shù)中的最早的意義重大的例子。
第二篇討論一次同余方程：其中嚴格證明了算術(shù)基本定理。
第三篇討論冪的同余式：此篇詳細討論了高次同余式。
第四篇“二次同余方程”意義非同尋常：因為其中給出了二次互反律的證明，有人統(tǒng)計到21世紀初，二次互反律的證明已經(jīng)超過200種，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、劉維爾、庫默爾、克羅內(nèi)克、戴德金、瓦萊－布桑、希爾伯特、弗羅貝尼烏斯、斯蒂爾切斯、M?里斯、韋伊都給出了新證法，可見問題之重要。
第五篇是“二次型與二次不定方程”在這一篇中關(guān)于二次型的特征的研究，標志著群特征標理論的肇始，使高斯成為群論的先驅(qū)者之一。
第六篇把前面的理論應(yīng)用到各種特殊情形，并引入了超越函數(shù)。
第七篇是“分圓方程”，不少人認為此篇是《算術(shù)研究》的頂峰。
《算術(shù)研究》當時對于數(shù)學家也很難讀，它曾被稱為“七印封嚴之書”（這是西方人對難解之書喜用的詞，近于中國人所謂的“天書”，典出《圣經(jīng)?啟示錄》第五章第一節(jié)：“我看見坐寶座的右手中有書卷，里外都寫著書，用七印封嚴了”）后來迪利克雷作了詳細注釋。此書簡潔完美的風格多少減慢了它的傳播速度，而最終當富有才華的年輕人開始深入研讀它時，由于出版商的破產(chǎn)，又買不到它了，甚至高斯最喜歡的學生艾森斯坦從未能擁有一本，有些學生不得不從頭到尾抄錄全書。
作者簡介：
作者：（德國）高斯 譯者：潘承彪 張明堯
潘承彪，1938年生于江蘇省蘇州市，1960年畢業(yè)于北京大學數(shù)學力學系數(shù)學專業(yè)，1961年起在北京農(nóng)業(yè)機化學院（后改名為北京農(nóng)業(yè)工程大學、中國農(nóng)業(yè)大學）工作，從1977年起同時在北京大學數(shù)學系工作。主要從事數(shù)學，特別是數(shù)論的教學科研工作。與胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析數(shù)論基礎(chǔ)》、《素數(shù)定理的初等證明》、《代數(shù)數(shù)論》、《初等數(shù)論》及《模形式導引》等。
張明堯，1945年12月生于山東省菏澤市，1967年畢業(yè)于安徽大學數(shù)學系，1981年獲得碩士學位后在安徽大學工作；1987年獲得博士學位后在中國科技大學工作；1994年調(diào)海南大學工作；1996年調(diào)上海華東理工大學工作。譯著有《數(shù)論中未解決的問題（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《純數(shù)學教程(紀念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代數(shù)論(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修訂者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。
目錄：
第一篇 數(shù)的同余 第1～12目
1 同余的數(shù)，模，剩余及非剩余 第1～3目
2 最小剩余 第4目
3 關(guān)于同余的若干基本定理 第5～11目
4 若干應(yīng)用 第12目
第二篇 一次同余方程 第13～44目
5 關(guān)于素數(shù)、因數(shù)等的若干預(yù)備定理 第13～25目
6 一次同余方程的解 第26～31目
7 對若干個給定的模，求分別同余于給定的剩余的數(shù)的方法 第32～36目
8 多元線性同余方程組 第37目
9 若干不同的定理 第38～44目
第三篇 冪剩余 第45～93目
10 首項為1的幾何數(shù)列的各項的剩余組成周期序列 第45～48目
首先討論素數(shù)模 第49～81目
11 當模為素數(shù)p時，周期的項數(shù)是p-1的除數(shù) 第49目
12 Fermat定理 第50～51目
13 對應(yīng)的周期的項數(shù)等于p-1的給定的除數(shù)的數(shù)的個數(shù) 第52～56目
14 原根，基，指標 第57目
15 指標的運算 第58～59目
16 同余方程xn≡A的根 第60～68目
17 不同系統(tǒng)的指標間的關(guān)系 第69～71目
18 為特殊應(yīng)用選取基 第72目
19 求原根的方法 第73～74目
20 關(guān)于周期和原根的幾個不同的定理 第75～81目
�。╓ilson定理） 第76～78目
合數(shù)模的討論 第82～93目
21 模為素數(shù)冪 第82～89目
22 模為2的方冪 第90～91目
23 由若干個素數(shù)合成的模 第92～93目
第四篇 二次同余方程 第94～152目
24 二次剩余和非剩余 第94～95目
25 若模是素數(shù)，則在小于模的數(shù)中剩余的個數(shù)等于非剩余的個數(shù) 第96～97目
26 合數(shù)是否是給定素數(shù)的剩余或非剩余的問題依賴于它的因數(shù)的性質(zhì) 第98～99目
27 合數(shù)模 第100～105目
28 給定的數(shù)是給定素數(shù)模的剩余或非剩余的一般判別法 第106目
以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的素數(shù)的討論 第107～150目
29 剩余-1 第108～111目
30 剩余+2和-2 第112～116目
31 剩余+3和-3 第117～120目
32 剩余+5和-5 第121～123目
33 剩余+7和-7 第124目
34 為一般討論做準備 第125～129目
35 用歸納方法來發(fā)現(xiàn)一般的(基本)定理及由其推出的結(jié)論 第130～134目
36 基本定理的嚴格證明 第135～144目
37 用類似方法證明第114目中的定理 第145目
38 一般問題的解法 第146目
39 以給定的數(shù)為其剩余或非剩余的全體素數(shù)的線性表示式 第147～150目
40 其他數(shù)學家關(guān)于這些研究的工作 第151目
41 一般形式的二次同余方程 第152目
第五篇 二次型和二次不定方程 第153～307目
42 研究計劃；型的定義及符號 第153目
43 數(shù)的表示；行列式 第154目
44 數(shù)M由型(a,b,c)來表示時所屬的表示式2-ac (mod M)的值第155～156目
45 一個型包含另一個型，或包含在另一個型之中；正常及反常變換 第157目
46 正常等價及反常等價 第158目
47 相反的型 第159目
48 相鄰的型 第160目
49 型的系數(shù)的公約數(shù) 第161目
50 給定的一個型變?yōu)榱硪粋�型的所有可能的同型變換之間的關(guān)系 第162目
51 歧型 第163目
52 與同時既是正常地又是反常地包含在另一個型中的型有關(guān)的定理 第164目
53 由型表示數(shù)的一般性研究以及這些表示與變換的聯(lián)系 第166～170目
54 行列式為負的型 第171～181目
55 特殊的應(yīng)用：將一個數(shù)分解成兩個平方數(shù)，分解成一個平方數(shù)和另一個平方數(shù)的兩倍，分解成一個平方數(shù)和另一個平方數(shù)的三倍 第182目
56 具有正的非平方數(shù)行列式的型 第183～205目
57 行列式為平方數(shù)的型 第206～212目
58 包含在另一個與之不等價的型之中的型 第213～214目
59 行列式為零的型 第215目
60 所有二元二次不定方程的一般整數(shù)解 第216～221目
61 歷史注記 第222目
關(guān)于型的進一步研究 第223～265目
62 給定行列式的型的分類 第223～225目
63 類劃分成層 第226～227目
64 層劃分成族 第228～233目
65 型的合成 第234～244目
66 層的合成 第245目
67 族的合成 第246～248目
68 類的合成 第249～251目
69 對給定的行列式，在同一個層的每一個族中都有同樣多個類 第252目
70 不同的層中各個族所含類的個數(shù)的比較 第253～256目
71 歧類的個數(shù) 第257～260目
72 對于給定的行列式，所有可能的特征有一半不能適合于任何正常本原(當行列式為負數(shù)時，還是定正的)族 第261目
73 基本定理以及與剩余-1,+2,-2有關(guān)的其他定理的第二個證明 第262目
74 精確地確定不能適合于族的那一半特征 第263～264目
75 分解素數(shù)成兩個平方數(shù)的特殊方法 第265目
76 三元型研究雜談 第266～285目
對于二元型理論的某些應(yīng)用 第286～307目
77 怎樣求一個型，由它的加倍可以得到主族中一個給定的二元型 第286目
78 除了在第263和264目中已經(jīng)證明其不可能的那些特征之外，其他所有的特征都與某個族相對應(yīng) 第287目
79 數(shù)及二元型分解為三個平方的理論 第288～292目
80 Fermat定理的證明：任何整數(shù)可以分解成三個三角數(shù)或者分解成四個平方數(shù) 第293目
81 方程ax2+by2+cz2=0的解 第294～295目
82 Legendre講述基本定理的方法 第296～298目
83 由任意的三元型表示零 第299目
84 二元二次不定方程的有理通解 第300目
85 族的平均個數(shù) 第301目
86 類的平均個數(shù) 第302～304目
87 正常本原類的特殊算法；正則和非正則的行列式，等 第305～307目
第六篇 前面討論的若干應(yīng)用 第308～334目
88 將分數(shù)分解為若干個較簡單分數(shù) 第309～311目
89 普通分數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù) 第312～318目
90 用排除法解同余方程x2≡A 第319～322目
91 用排除法解不定方程mx2＋ny2=A 第323～326目
92 A為負數(shù)時同余方程x2≡A的另一種解法 第327，328目
93 判別合數(shù)與素數(shù)及尋求合數(shù)的因數(shù)的兩個方法 第329～334目
第七篇 分圓方程 第335～366目
94 討論可歸結(jié)為把圓分為素數(shù)份的最簡單情形 第336目
95 關(guān)于弧(它由整個圓周的一份或若干份組成)的三角函數(shù)的方程；把三角函數(shù)歸結(jié)為方程xn-1=0的根 第337～338目
關(guān)于方程xn-1=0的根的理論（假定n是素數(shù)） 第339～354目
96 若不計根1，則全部其余的根(Ω)是屬于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0 第339～340目
97 函數(shù)X不能分解為系數(shù)均為有理數(shù)的因式的乘積 第341目
98 進一步討論的目的的說明 第342目
99 Ω中的所有的根可分為若干個類(周期) 第343目
100 關(guān)于Ω中根組成的周期的幾個的定理 第344～351目
101 基于以上討論解方程X=0 第352～354目
進一步討論根的周期 第355～360目
102 有偶數(shù)項的和是實數(shù) 第355目
103 把(Ω)中的根分為兩個周期的方程 第356目
104 第四篇中提到的一個定理的證明 第357目
105 把(Ω)中的根分為三個周期的方程 第358目
106 把求Ω中的根的方程化為最簡方程 第359～360目
以上研究在三角函數(shù)中的應(yīng)用 第361～364目
107 求對應(yīng)于(Ω)中每個根的角的方法 第361目
108 不用除法從正弦與余弦導出正切，余切，正割及余割 第362目
109 逐次降低關(guān)于三角函數(shù)的方程次數(shù)的方法 第363，364目
110 利用解二次方程或幾何作圖方法可實現(xiàn)的圓周的等分 第365，366目
補記
附表
譯者注
附錄 高斯——數(shù)學王者 科學巨人
1 德國情勢
2 貧寒之家
3 心算神童
4 學院三載
5 大學攻讀
6 出手不凡
7 科學隨記
8 博士論文
9 算術(shù)探索
10 一算成名
11 戀愛結(jié)婚
12 公爵之死
13 喪妻再娶
14 天文著作
15 輝煌十年
16 大地測量
17 曲面理論
18 非歐幾何
19 物理研究
20 教學工作
21 政治風波
22 晚年生活
23 業(yè)余愛好
24 人際關(guān)系
25 工作風格
26 溘然長逝
27 高斯全集
注
人名索引
人名譯名表
編輯手記
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